εύρεση παραμέτρων

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2795
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

εύρεση παραμέτρων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Ιούλ 23, 2010 12:12 pm

Έστω f:\left[{1,2}\right]\longrightarrow\mathbb{R} μιά συνάρτηση ορισμένη, αντιστρέψιμη καί γνησίως αύξουσα στό διάστημα \left[{1,2}\right], γιά τήν οποία, γιά κάθε x\in\left[{1,2}\right], ισχύει:

f^{-1}\bigl({\alpha\,x^5-\beta\,x^3}\bigr)\leq{x}\leq{f^{-1}\bigl({\alpha\,x^4+3x-4\beta+6}\bigr)}.

Νά βρεθεί γιά ποιές τιμές τών πραγματικών \alpha καί \beta η συνάρτηση f έχει, στό διάστημα \left[{1,2}\right], ελάχιστη τιμή ίση με -\dfrac{3}{2} καί μέγιστη τιμή ίση μέ 24.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: εύρεση παραμέτρων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Παρ Ιούλ 23, 2010 2:16 pm

Η f eiιναι γνησίως αύξουσα..άρα:
\displaystyle 1\leq x\leq 2\Leftrightarrow f\left(1 \right)\leq f\left(x \right)\leq f\left(2 \right)\Rightarrow f\left(1 \right)=-\frac{3}{2},f\left(2 \right)=24

Αφού η f είναι 1-1 είναι και αντιστρέψιμη άρα:\displaystyle 1=f^{-1}\left(-\frac{3}{2} \right),2=f^{-1}\left(24 \right)

και η \displaystyle f^{-1} με την \displaystyle f έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας:

Άρα αν θέσω χ=2 στην αρχική τότε:
\displaystyle f^{-1}\left(32a-8b \right)\leq 2\leq f^{-1}\left(16a-4b+12 \right)\Leftrightarrow

f^{-1}\left(32a-8b \right)\leq f^{-1}\left(24 \right)\leq f^{-1}\left(16a-4b+12 \right)\Leftrightarrow

32a-8b\leq  24\leq 16a-4b+12\Rightarrow 4a-b\geq 3 and 16a-4b\geq 12\Rightarrow 4a-b=3 (1)

Άν θέσω χ=1 στην αρχική τότε:
\displaystyle f^{-1}\left(a-b \right)\leq 1\leq f^{-1}\left(a-4b+9 \right)\Leftrightarrow f^{-1}\left(a-b \right)\leq f^{-1}\left(-\frac{3}{2} \right)\leq f^{-1}\left(a-4b+9 \right)\Leftrightarrow a-b\leq -\frac{3}{2}\leq a-4b+9 (2)

Aπο (1): \displaystyle b=4a-3, οπότε:
\displaystyle a-b\leq -\frac{3}{2}\Leftrightarrow a-4a+3\leq -\frac{3}{2}\Leftrightarrow -3a\leq -\frac{9}{2}\Leftrightarrow a\geq \frac{3}{2}

και: \displaystyle a-4b+9\geq -\frac{3}{2}\Leftrightarrow a-4\left(4a-3 \right)+9\geq -\frac{3}{2}\Leftrightarrow a-16a+21\geq -\frac{3}{2}\Leftrightarrow
\displaystyle-15a\geq -\frac{45}{2}\Leftrightarrow a\leq \frac{3}{2}\Rightarrow a=\frac{3}{2}

Άρα: \displaystyle b=4a-3=4\frac{3}{2}-3=6-3=3\Rightarrow \left(a,b \right)=\left(\frac{3}{2},3 \right)

Φιλικα,
Κώστας


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2795
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: εύρεση παραμέτρων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Ιούλ 23, 2010 3:59 pm

kwstas12345 έγραψε:....Αφού η f είναι 1-1 είναι και αντιστρέψιμη άρα:\displaystyle 1=f^{-1}\left(-\frac{3}{2} \right),2=f^{-1}\left(24 \right)

και η \displaystyle f^{-1} με την \displaystyle f έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας...
Η λύση πού έδωσε ο Κώστας είναι η ενδεδειγμένη. Σέ π.μ. πρός εμένα σημειώνει ότι χρειάζεται καί η απόδειξη τού λήμματος γιά τό ίδιο είδος μονοτονίας τών f, f^{-1}.
Στήν συγκεκριμένη άσκηση μπορούμε νά τό αποφύγουμε αρκεί νά παρατηρήσουμε ότι γιά κάθε x\in\left[{1,2}\right], ισχύει:

f^{-1}\bigl({\alpha\,x^5-\beta\,x^3}\bigr)\leq{x}\leq{f^{-1}\bigl({\alpha\,x^4+3x-4\beta+6}\bigr)}\quad\stackrel{f \ \nearrow}{\Rightarrow}

f\!\left({f^{-1}\bigl({\alpha\,x^5-\beta\,x^3}\bigr)}\right)\leq{f({x})}\leq{f\!\left({f^{-1}\bigl({\alpha\,x^4+3x-4\beta+6}\bigr)}\right) }\quad\Leftrightarrow

\alpha\,x^5-\beta\,x^3\leq{f({x})}\leq{\alpha\,x^4+3x-4\beta+6}\quad(1) .

Επίσης ισχύουν: f({1})=-\dfrac{3}{2} καί f({2})=24\quad(2)

Από τήν (1) γιά x=2 προκύπτει:
\alpha\cdot2^5-\beta\cdot2^3\leq{f({2})}\leq\alpha\cdot2^4+3\cdot2-4\beta+6\quad\stackrel{(2)}{\Rightarrow}

32\alpha-8\beta\leq24\leq16\alpha-4\beta+12\quad\Leftrightarrow\quad32\alpha-8\beta-24\leq0\leq16\alpha-4\beta-12\quad\Rightarrow

16\alpha-4\beta-12\leq0\leq16\alpha-4\beta-12\quad\Rightarrow\quad16\alpha-4\beta-12=0\quad\Rightarrow

\beta=4\alpha-3\quad(3)

Από τήν (1) γιά x=1 προκύπτει:
\alpha\cdot1^5-\beta\cdot1^3\leq{f({1})}\leq\alpha\cdot1^4+3\cdot1-4\beta+6\quad\stackrel{(2)}{\Rightarrow}\quad\alpha-\beta\leq-\dfrac{3}{2}\leq\alpha-4\beta+9\quad\stackrel{(3)}{\Rightarrow}

\left\{{\begin{array}{c} 
   {\alpha-4\alpha+3\leq-\dfrac{3}{2}}\vspace{0.1cm}   \\ 
   {-\dfrac{3}{2}\leq\alpha-4\,({4\alpha-3})+9} 
\end{array}}\right\}\quad\Rightarrow\quad\left\{{\begin{array}{c} 
   {\dfrac{3}{2}\leq\alpha}\vspace{0.1cm}   \\ 
   {\alpha\leq\dfrac{3}{2}} 
\end{array}}\right\}\quad\Rightarrow\quad\alpha=\dfrac{3}{2}.

Άρα \beta=4\,\dfrac{3}{2}-3=3.\quad\square


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης