Ν-1 ρίζες;

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Ν-1 ρίζες;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Απρ 01, 2009 9:20 pm

Έστω \displaystyle{\displaystyle  
a_1 ,a_2 ,....,a_\nu   
}, αριθμοί θετικοί και \displaystyle{\displaystyle  
\rho _1 ,\rho _2 ,....,\rho _\nu   
} αριθμοί πραγματικοί διαφορετικοί μεταξύ τους ανα δύο ( ν φυσικός, μεγαλύτερος του 1).
Θεωρούμε τη συνάρτηση f : R-{ρ1,ρ2,...ρν} -> R με τύπο
\displaystyle{\displaystyle  
f(x) = \frac{{a_1 }} 
{{x - \rho _1 }} + \frac{{a_2 }} 
{{x - \rho _2 }} + .... + \frac{{a_\nu  }} 
{{x - \rho _\nu  }} 
}.
Να αποδείξετε οτι η f παίρνει την τιμή 0 σε ακριβώς ν-1 θέσεις...


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
giannisn1990
Δημοσιεύσεις: 252
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 11:29 pm
Τοποθεσία: Greece

Re: Ν-1 ρίζες;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannisn1990 » Τετ Απρ 01, 2009 9:47 pm

Χρήστο μήπως τα κλάσματα έχουν την μορφή \displaystyle \frac{a_{i}}{a_{i}x-\rho {i}}?


Γιάννης
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2178
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ν-1 ρίζες;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τετ Απρ 01, 2009 9:56 pm

Με τροποποιημένο Bolzano για τα ανοιχτά διαστήματα (\rho _k,\rho_{k+1}) και μονοτονία σε καθένα από αυτά για την μοναδικότητα και με την παρατήρηση ότι f(x)>0 για x>\rho _n, f(x)<0 για x<\rho _1


dimgiann
Δημοσιεύσεις: 49
Εγγραφή: Τρί Μαρ 10, 2009 11:26 pm
Τοποθεσία: Άλιμος

Re: Ν-1 ρίζες;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimgiann » Τετ Απρ 01, 2009 10:04 pm

Καλησπέρα
Μία πρώτη σκέψη είναι η επόμενη:
Δεδομένου ότι ρ1<ρ2<ρ3<…<ρν, το πεδίο ορισμού είναι Α=(-oo,ρ1)U(ρ1, ρ2)U(ρ2, ρ3) κλπ
Η παράγωγος της f είναι αρνητική σε κάθε διάστημα του πεδίου ορισμού Α
Άρα η f φθίνουσα σε κάθε διάστημα με σύνολο τιμών το IR (πλευρικά όρια + και - άπειρο) άρα μία ρίζα για την f(x)=0 σε κάθε ένα από τα ν-1 διαστήματα (ρk, ρk+1)
Η εξίσωση f(x)=0 είναι ισοδύναμη με την (x-ρ2)(x-ρ3)…(x-ρν)+ (x-ρ1)(x-ρ3)…(x-ρν)+… (x-ρ1)(x-ρ2)…(x-ρν-1)=0 για x στο Α η οποία είναι πολυωνυμική ν-1 βαθμού με ν-1 το πολύ ρίζες. Άρα έχει ακριβώς ν-1
Δημ. Γιαννόπουλος


Άβαταρ μέλους
giannisn1990
Δημοσιεύσεις: 252
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 11:29 pm
Τοποθεσία: Greece

Re: Ν-1 ρίζες;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannisn1990 » Τετ Απρ 01, 2009 10:36 pm

Δίχως βλάβη της γενικότητας θεωρώ \displaystyle r_{1}<r_{2}<...<r_{n} Αν θεωρήσουμε την συνάρτηση \displaystyle F(x)=(x-r_{1})^{a_{1}}\cdot (x-r_{2})^{a_{2}}\cdot ...\cdot (x-r_{n})^{{a_{n}}
τότε
\ln |F(x)|= 
\ln |(x-r_{1})^{a_{1}}\cdot (x-r_{2})^{a_{2}}\cdot ...\cdot (x-r_{n})^{a_{n}}|={a_{1}}\ln|x-r_{1}|+{a_{2}}\ln|x-r_{2}|+...+{a_{n}}\ln|(x-r_{n})|
οπότε με παραγώγιση παίρνουμε \displaystyle \frac{F^{\prime}(x)}{F(x)}=\frac{a_{1}}{x-r_{1}}+...+\frac{a_{n}}{x-r_{n}}=f(x) .Τώρα για την \displaystyle F εφαρμίζεται το Θεώρημα Rolle στα διαστήματα \displaystyle [{r_{1}},{r_{2}}],[{r_{2}},{r_{3}}],...,[r_{n-1},r_{n}] ,άρα υπάρχουν\displaystyle \xi _{1}\in(r_{1},r_{2}),\xi _{2}\in(r_{2},r_{3}),...,\xi _{n-1}\in(r_{n-1},r_{n}) ώστε \displaystyle F^{\prime}(\xi _{2})=F^{\prime}(\xi _{1})=...=F^{\prime}(\xi _{n-1})=0\Leftrightarrow f(\xi _{1})=f(\xi _{2})=...=f(\xi _{n-1})=0

Όμως εύκολα δείχνουμε ότι σε καθένα απο τα παραπάνω διαστήματα η f είναι γνησίως φθίνουσα άρα τα \displaystyle \xi _{i} είναι και μοναδικά .


Γιάννης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες