Μάλλον ....θα γίνονταν το λάθος !

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5357
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Μάλλον ....θα γίνονταν το λάθος !

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τρί Σεπ 07, 2010 8:27 am

Την παρακάτω άσκηση που συνέθεσα χθες τη θεωρώ πολύ χρήσιμη και σας την κοινοποιώ.Μερικά ερωτήματα είναι πολύ απλά για να ενθαρρύνουν το μαθητή.
Αξίζει όμως να κουβεντιάσουμε στο τέλος κάποια σημεία - δεν σας πρακαταλαμβάνω ποια - που πρέπει να τονίσουμε στους μαθητές, ώστε να αποφευχθούν τυχόν λάθη.


ΑΣΚΗΣΗ

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) = \sqrt x + x^2 .

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 και να εξετάσετε αν η f αντιστρέφεται.

β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και το πεδίο ορισμού της f^{-1}.

γ) Να αποδείξετε ότι η f^{-1} είναι γνησίως αύξουσα.

δ) Να λύσετε την ανίσωση : f^{-1}(x^2-1) < x

Μπάμπης

( Ο τίτλος του μηνύματος ... μάλλον κάτι κρύβει !)
Συνημμένα
2010-9-7 , ΓΕΝΙΚΟ ΘΕΜΑ.doc
(28.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 289 φορές


k-ser
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Re: Μάλλον ....θα γίνονταν το λάθος !

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από k-ser » Τρί Σεπ 07, 2010 12:27 pm

Μπάμπη, καλή άσκηση με δύσκολα σημεία που θα προβληματίσουν τους μαθητές.

1. Η εξίσωση f(x)=y\Leftrightarrow \sqrt{x}+x^2-y=0 , x\geq0 είναι αδύνατη αν y<0 και, αν y>0 μας "κρύβει" τη θετική της λύση.

2. Το 1-1 ή τη μονοτονία της συνάρτησης είμαστε αναγκασμένοι να το εξετάσουμε κάνοντας γινόμενο τη διαφορά: f(x_1)-f(x_2).
Είναι
\displaystyle f(x_1)-f(x_2)=\sqrt{x_1}+x_1^2-\sqrt{x_2}-x_2^2=\frac{x_1-x_2}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}+\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)= \left(x_1-x_2\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}+x_1+x_2\right).
Βέβαια, με την βοήθεια των παραγώγων τα πράγματα είναι πιο εύκολα.

3. Το σύνολο τιμών της συνάρτησης θα υπολογιστεί είτε με τη μονοτονία - συνέχεια και το όριο στο +\infty, είτε με το θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση g(x)=\sqrt{x}+x^2-y στο [0,\sqrt{y}].

4. Η ανίσωση \displaystyle f^{-1}\left(x^2-1\right)<x χρειάζεται τον περιορισμό x^2-1\geq0, οπότε μπορεί να λυθεί για τα x\in (-\infty,-1]\cup[1,+\infty).
Έτσι,
για x\leq-1 είναι αδύνατη,αφού το σύνολο τιμών της f^{-1} είναι το D_f=[0,+\infty) και
για x\geq1 είναι ισοδύναμη, λόγω μονοτονίας, με την \displaystyle f\left(f^{-1}\left(x^2-1\right)\right)<f(x)\Leftrightarrow x^2-1<x^2+\sqrt{x} το οποίο ισχύει.

Ενδιαφέρον θα είχε να δοθεί η ανίσωση: \displaystyle f^{-1}\left(x^2-1\right)>x με λύσεις x\in (-\infty,-1]
ή,
η αρκετά πιο δύσκολη: Να δειχθεί ότι η ανίσωση \displaystyle f^{-1}\left(1-x^2\right)>x έχει λύσεις τους αριθμούς x\in [-1,a), όπου a η ρίζα της εξίσωσης 2x^2+\sqrt{x}-1=0. !!


Κώστας Σερίφης
pastavr
Δημοσιεύσεις: 142
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 5:50 pm

Re: Μάλλον ....θα γίνονταν το λάθος !

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pastavr » Τρί Σεπ 07, 2010 8:21 pm

Συμφωνώ με τον Κώστα για τα επικίνδυνα σημεία
Βέβαια αφου βρούμε το πεδίο ορισμού η μονοτονία της συνάρτησης βγαίνει εύκολα και κατασκευαστικά
Αν ξεκινήσουμε ότι x1<x2 μπορούμε εύκολα να καταλήξουμε ότι f(x1) < f(x2)
Παύλος


Παύλος Σταυρόπουλος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11547
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μάλλον ....θα γίνονταν το λάθος !

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Σεπ 07, 2010 10:32 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Την παρακάτω άσκηση που συνέθεσα χθες τη θεωρώ πολύ χρήσιμη και σας την κοινοποιώ.Μερικά ερωτήματα είναι πολύ απλά για να ενθαρρύνουν το μαθητή.
Αξίζει όμως να κουβεντιάσουμε στο τέλος κάποια σημεία - δεν σας πρακαταλαμβάνω ποια - που πρέπει να τονίσουμε στους μαθητές, ώστε να αποφευχθούν τυχόν λάθη.


ΑΣΚΗΣΗ

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) = \sqrt x + x^2 .

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 και να εξετάσετε αν η f αντιστρέφεται.

β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και το πεδίο ορισμού της f^{-1}.

γ) Να αποδείξετε ότι η f^{-1} είναι γνησίως αύξουσα.

δ) Να λύσετε την ανίσωση : f^{-1}(x^2-1) < x

Μπάμπης

( Ο τίτλος του μηνύματος ... μάλλον κάτι κρύβει !)
Πιo απλά: Πεδίο ορισμού [0, \infty). Έτσι
α) Η f είναι γνήσια αύξουσα ως άθροισμα δύο τέτοιων. Άρα είναι 1-1 και αντιστρέφεται.
β) Αφού f(0) = 0 Και το όριο στο άπειρο είναι άπειρο, το σύνολο τιμών της f είναι (Bolzano) το [0, \infty)
γ) έπεται από την μονοτονία της f (γνωστό).
δ) πρώτον απαιτούμε επιπλέον x^2-1 \ge 0 \,, οπότε x \ge 1 \,. Τώρα, επειδή η f είναι γνήσια αύξουσα, η ανίσωση είναι ισοδύναμη με την f(f^{-1}(x^2-1)) < f( x)\, ή
x^2-1 < f( x)= \sqrt x + x^2 \, ή -1 <  \sqrt x  \, που ισχύει για κάθε χ στο πεδίο ορισμού [1, \infty)

Φιλικά,

Μιχάλης


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5357
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Μάλλον ....θα γίνονταν το λάθος !

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τετ Σεπ 08, 2010 9:26 am

Μετά τις ολοκληρωμένες απαντήσεις σας, βάζω ένα συνημμένο αρχείο με τα συμπεράσματα.
α) Το αρχείο είναι προσωρινά σε word, ώστε να το επεξεργαστείτε και να συμπληρώσετε τυχόν παρατηρήσεις, λάθη ή παροράμματα, που παρακαλώ να μου στείλετε εδώ ή με προσωπικό μήνυμα , ώστε να καταχωρίσουμε τελικά ένα ολοκληρωμένο και σωστό αρχείο για τους φίλους του mathematica.

β) Αν κάποιος βρει λίγο χρόνο, ας γράψει και ας στείλει αναλυτική λύση στην εφαρμογή του αρχείου. Οι λύσεις των Κώστα και Μιχάλη είναι μια πολύ καλή βάση για πάτημα.

Ευχαριστώ - Μπάμπης
Συνημμένα
2010-9-8 , ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΤΗΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ.doc
(59 KiB) Μεταφορτώθηκε 39 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μπάμπης Στεργίου σε Κυρ Οκτ 26, 2014 10:28 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


eirhnh
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Πέμ Σεπ 02, 2010 4:52 pm

Re: Μάλλον ....θα γίνονταν το λάθος !

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από eirhnh » Τετ Σεπ 08, 2010 12:44 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:β) Αφού f(0) = 0 Και το όριο στο άπειρο είναι άπειρο, το σύνολο τιμών της f είναι (Bolzano) το [0, \infty)
Μπορουμε για το β) να βρουμε το Π.Ο. της f^-1 και συνεπως αυτο να ειναι το συνολο τιμων της f.. :?:


Το πιο παλιο εικονογραφημενο βιβλιο που εχουμε στην κατοχη μας ειναι ο νυχτερινος ουρανος...
E.W.Maunder
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11547
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μάλλον ....θα γίνονταν το λάθος !

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Σεπ 08, 2010 1:02 pm

eirhnh έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:β) Αφού f(0) = 0 Και το όριο στο άπειρο είναι άπειρο, το σύνολο τιμών της f είναι (Bolzano) το [0, \infty)
Μπορουμε για το β) να βρουμε το Π.Ο. της f^-1 και συνεπως αυτο να ειναι το συνολο τιμων της f.. :?:
Ανάποδα. Πρώτα βρίσκουμε το σύνολο τιμών της f, το οποίο είναι αυτόματα (εξ ορισμού) π.ο. της αντίστροφης.

Μ.


eirhnh
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Πέμ Σεπ 02, 2010 4:52 pm

Re: Μάλλον ....θα γίνονταν το λάθος !

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από eirhnh » Τετ Σεπ 08, 2010 1:13 pm

Δηλαδη ετσι οπως το ειπα εγω δεν γινεται ή γενικα δεν ξερουμε πως να το βρουμε? (με γνωσεις λυκειου...) :?


Το πιο παλιο εικονογραφημενο βιβλιο που εχουμε στην κατοχη μας ειναι ο νυχτερινος ουρανος...
E.W.Maunder
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1036
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Μάλλον ....θα γίνονταν το λάθος !

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pana1333 » Τρί Οκτ 12, 2010 4:02 am

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Την παρακάτω άσκηση που συνέθεσα χθες τη θεωρώ πολύ χρήσιμη και σας την κοινοποιώ.Μερικά ερωτήματα είναι πολύ απλά για να ενθαρρύνουν το μαθητή.
Αξίζει όμως να κουβεντιάσουμε στο τέλος κάποια σημεία - δεν σας πρακαταλαμβάνω ποια - που πρέπει να τονίσουμε στους μαθητές, ώστε να αποφευχθούν τυχόν λάθη.


ΑΣΚΗΣΗ

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) = \sqrt x + x^2 .

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 και να εξετάσετε αν η f αντιστρέφεται.

β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και το πεδίο ορισμού της f^{-1}.

γ) Να αποδείξετε ότι η f^{-1} είναι γνησίως αύξουσα.

δ) Να λύσετε την ανίσωση : f^{-1}(x^2-1) < x

Μπάμπης

( Ο τίτλος του μηνύματος ... μάλλον κάτι κρύβει !)
Συνημμένα
2010-10-11, Άσκηση στην αντίστροφη - Μέθοδος.pdf
(183.29 KiB) Μεταφορτώθηκε 222 φορές
2010-10-11, Άσκηση στην αντίστροφη - Μέθοδος.doc
(144 KiB) Μεταφορτώθηκε 184 φορές


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1816
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Μάλλον ....θα γίνονταν το λάθος !

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τρί Οκτ 12, 2010 6:09 pm

pana1333 έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Την παρακάτω άσκηση που συνέθεσα χθες τη θεωρώ πολύ χρήσιμη και σας την κοινοποιώ.Μερικά ερωτήματα είναι πολύ απλά για να ενθαρρύνουν το μαθητή.
Αξίζει όμως να κουβεντιάσουμε στο τέλος κάποια σημεία - δεν σας πρακαταλαμβάνω ποια - που πρέπει να τονίσουμε στους μαθητές, ώστε να αποφευχθούν τυχόν λάθη.


ΑΣΚΗΣΗ

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) = \sqrt x + x^2 .

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 και να εξετάσετε αν η f αντιστρέφεται.

β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και το πεδίο ορισμού της f^{-1}.

γ) Να αποδείξετε ότι η f^{-1} είναι γνησίως αύξουσα.

δ) Να λύσετε την ανίσωση : f^{-1}(x^2-1) < x

Μπάμπης

( Ο τίτλος του μηνύματος ... μάλλον κάτι κρύβει !)


Στο Α. (στο πρώτο συνημμένο αρχείο) η ισοδυναμία σηκώνει κουβέντα, τουλάχιστον, ως προς τον περιορισμό, ας το πω έτσι, "το h(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της f ".


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες