Να βρεθεί το n.

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

APOSTOLAKIS
Δημοσιεύσεις: 137
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 6:09 pm

Να βρεθεί το n.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από APOSTOLAKIS » Τρί Σεπ 07, 2010 5:31 pm

Αν \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^{2010}x-sinx^{2010}}{x^{^{n}}} είναι πραγματικός αριθμός διαφορετικός από το μηδέν, να υπολογίσετε το n.


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Να βρεθεί το n.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Σεπ 07, 2010 11:10 pm

Μια απόπειρα σκέψης και μία εικασία.(όχι κατάληξη)

Έτσι για να αρχίσει η κουβέντα.

Η παράσταση γράφεται:
.

\displaystyle{ 
\frac{{(\sin x)^{2010}  - \sin (x^{2010} )}}{{x^n }} = \frac{1}{{x^{n - 2010} }}\left[ {\left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right)^{2010}  - \frac{{\sin (x^{2010} )}}{{x^{2010} }}} \right] 
}

Είναι:

\displaystyle{ 
\begin{array}{l} 
 \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{sinx}}{x}} \right)^{2010}  = 1 \\  
 \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{sin(x^{2010} )}}{{x^{2010} }}\mathop  = \limits^{y \to 0^ +  } \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{\sin y}}{y} = 1 \\  
 \end{array} 
}

Οπότε

1)Αν n<2010 τότε η παράσταση τείνει στο μηδέν.(δεν το θέλουμε)

2)Αν n =2010 είναι πιό προφανές πως τείνει στο μηδέν(πάλι δεν το θέλουμε).

3) Αν n>2010 έχω απροσδιόριστη μορφή.

Κι εδώ τελειώνει η σκέψη μου(πρός το παρόν).

Αν δεν έχω κάνει λάθος κάπου εκεί μετά το 2010 (ίσως και ως το άπειρο) βρίσκεται η απάντηση.


Χρήστος Κυριαζής
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Να βρεθεί το n.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τρί Σεπ 07, 2010 11:12 pm

Είναι n=2012.

Αρκεί να δειχθεί ότι

\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2010}x-\sin x^{2010}}{x^{2012}} \ne 0}.

Πράγματι, από L'Hospital έχουμε το ζητούμενο όριο θα ισούται με

\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{2010\sin^{2009}x \cos x -2010 x^{2009} \cos (x^{2010})}{2012x^{2011}}=\lim_{x\to 0} \frac{2010}{2012}\left( \Big[ \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2009}-1\Big]\frac{\cos x}{x^2} +\frac{\cos x -\cos x^{2010}}{x^2} \right)=\frac{2010}{2012} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{\cos x -\cos x^{2010}}{x^2}}

Ξανά από L'Hospital έχουμε

\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\cos x -\cos x^{2010}}{x^2}=\lim_{x\to 0} \frac{-\sin x +2010x^{2009}\sin (x^{2010})}{2x}=-\frac{1}{2}}.

Συνεπώς, το αρχικό όριο είναι ίσο με \displaystyle{-\frac{2010}{2\cdot 2012}}.

Edit: Το ότι \displaystyle{\lim_{x\to 0} \Big[ \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2009}-1\Big]\frac{1}{x^2}=0} χρειάζεται απόδειξη. Με μια δεύτερη ματιά, αν και σωστό, δεν είναι τόσο προφανές (για το λύκειο, πάντα-αλλοιώς, είναι προφανέστατο (ΟΧΙ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ- ΔΕΙΤΕ ΠΑΡΑΚΑΤΩ) με σειρές Maclaurin).

Φιλικά,

Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Δευ Σεπ 27, 2010 8:58 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Να βρεθεί το n.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Σεπ 07, 2010 11:13 pm

Μπράβο Αχιλλέα!

:clap2:

:coolspeak:


Χρήστος Κυριαζής
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Να βρεθεί το n.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Δευ Σεπ 27, 2010 8:13 pm

achilleas έγραψε: ......
Edit: Το ότι \displaystyle{\lim_{x\to 0} \Big[ \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2009}-1\Big]\frac{1}{x^2}=0} χρειάζεται απόδειξη. Με μια δεύτερη ματιά, αν και σωστό, δεν είναι τόσο προφανές (για το λύκειο, πάντα-αλλοιώς, είναι προφανέστατο με σειρές Maclaurin).
....
Δεν το έχω σκεφτεί, αλλά υπάρχει κάποια "λυκειακή" απόδειξη του παραπάνω ορίου;

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8265
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Να βρεθεί το n.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Σεπ 27, 2010 8:25 pm

Γιατί εγώ βρίσκω ότι το όριο ισούται με -2009/6;


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Να βρεθεί το n.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Δευ Σεπ 27, 2010 8:26 pm

Με τον τρόπο που διατυπώνεται το πρόβλημα υπονοείται (κατά τη γνώμη μου) ότι το n είναι μοναδικό.

Σε αυτήν την περίπτωση, η μοναδικότητα παραμένει προς απόδειξη.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Να βρεθεί το n.

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Δευ Σεπ 27, 2010 8:31 pm

Demetres έγραψε:Γιατί εγώ βρίσκω ότι το όριο ισούται με -2009/6;

Ποιό όριο βρίσκεις τόσο; Μπορούμε να δούμε τον υπολογισμό;
Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Με τον τρόπο που διατυπώνεται το πρόβλημα υπονοείται (κατά τη γνώμη μου) ότι το n είναι μοναδικό.

Σε αυτήν την περίπτωση, η μοναδικότητα παραμένει προς απόδειξη.
Η μοναδικότητα είναι "προφανής" με σκέψεις ανάλογες αυτές του Χρήστου.

Αν μειώσεις τον εκθέτη στον παρονομαστή x^{2012}, τότε το όριο είναι 0, ενώ αν τον αυξήσεις το όριο δεν υπάρχει.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Να βρεθεί το n.

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Δευ Σεπ 27, 2010 8:37 pm

achilleas έγραψε:
Δεν το έχω σκεφτεί, αλλά υπάρχει κάποια "λυκειακή" απόδειξη του παραπάνω ορίου;

Φιλικά,

Αχιλλέας
Μπορεί να αποδειχθεί με χρήση της \displaystyle{x-x^3/6<\sin x< x} για \displaystyle{x\in(0,\delta)} (και αντίστοιχα για τα αρνητικά) σχολικά.

ΛΑΘΟΣ
τελευταία επεξεργασία από Κοτρώνης Αναστάσιος σε Τρί Σεπ 28, 2010 12:36 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Να βρεθεί το n.

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Δευ Σεπ 27, 2010 8:55 pm

:oops:

Ο Δημήτρης έχει δίκιο, οπότε πρέπει να τροποπoιήσω την παραπάνω "απόδειξη" ως εξής:
.......

Πράγματι, από L'Hospital έχουμε το ζητούμενο όριο θα ισούται με

\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{2010\sin^{2009}x \cos x -2010 x^{2009} \cos (x^{2010})}{2012x^{2011}}=\lim_{x\to 0} \frac{2010}{2012}\left( \Big[ \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2009}-1+\frac{2009}{6} x^2\Big]\frac{\cos x}{x^2} -\frac{2009}{6}\cos x+ \frac{\cos x -\cos x^{2010}}{x^2} \right)}

που είναι ίσο με

\displaystyle{\frac{2010}{2012}\left(0-\frac{2009}{6}-\frac{1}{2}\right)\ne 0}

....

Η ερώτηση παραμένει, αφού το πρόβλημα είναι στο φάκελο λυκείου.

Υπάρχει "λυκειακή" λύση;

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8265
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Να βρεθεί το n.

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Σεπ 27, 2010 10:57 pm

Απολογούμαι για την κάπως λακωνική απάντηση προηγουμένως και επανέρχομαι προσπαθώντας να δώσω μια λυκειακή απάντηση στο όριο. Θα χρησιμοποιήσω τον τύπο a^{2009} - 1 = (a-1)(1 + a + a^2 + \cdots + a^{2008}) ο οποίος πρέπει να θεωρείται γνωστός (προκύπτει από το άθροισμα γεωμετρικής σειράς.)

Άρα \displaystyle{ \lim_{x \to 0} \left( \left(\frac{\sin{x}}{x} \right)^{2009} - 1\right) \frac{1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin{x} - x}{x^3} \right) \left( 1 + \frac{\sin{x}}{x} + \cdots + \left(\frac{\sin{x}}{x} \right)^{2008}  \right)}

Όμως \displaystyle{\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin{x} - x}{x^3} \right) = -\frac{1}{6} } εφαρμόζοντας δυο φορές l'Hopital, και \displaystyle{\lim_{x \to 0}\left( 1 + \frac{\sin{x}}{x} + \cdots + \left(\frac{\sin{x}}{x} \right)^{2008}  \right) = 2009} χρησιμοποιώντας γνωστές ιδιότητες για τα αθροίσματα και γινόμενα ορίων.


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Να βρεθεί το n.

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Σεπ 27, 2010 11:16 pm

Παιδιά συγνώμη αλλά πως καταρρίπτεται το συμπέρασμα '' αν το n<2010 έχω όριο το μηδέν...''

:wallbash:

Ειλικρινά σηκώνω τα χέρια ψηλά!


Χρήστος Κυριαζής
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Να βρεθεί το n.

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Δευ Σεπ 27, 2010 11:18 pm

Πάρα πολύ ωραία!

Το θέμα φαίνεται να έχει ιδιαίτερες απαιτήσεις,
οπότε το θεωρώ πάρα πολύ δύσκολο για μαθητές.

Εκτός αν υπάρχει πιο απλή λύση στο αρχικό ερώτημα που δεν τη βλέπω.

Αχιλλέας


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Να βρεθεί το n.

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Δευ Σεπ 27, 2010 11:22 pm

chris_gatos έγραψε:Παιδιά συγνώμη αλλά πως καταρρίπτεται το συμπέρασμα '' αν το n<2010 έχω όριο το μηδέν...''

:wallbash:

Ειλικρινά σηκώνω τα χέρια ψηλά!
Αν κατάλαβα καλά το ερώτημα έχουμε το εξής για n<2012:

Ο λόγος γράφεται

\displaystyle{\frac{\sin^{2010}x-\sin x^{2010}}{x^{^{n}}}=x^{2012-n} \cdot \frac{\sin^{2010}x-\sin x^{2010}}{x^{2012}}} που τείνει στο 0 καθώς x\to 0.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Να βρεθεί το n.

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Σεπ 27, 2010 11:25 pm

Έστω Αχιλλέα εξ'άλλου εγώ το είχα φτάσει μέχρι το 2010. Εσύ το πήγες...λίγο παρακάτω!


Χρήστος Κυριαζής
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Να βρεθεί το n.

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Δευ Σεπ 27, 2010 11:29 pm

 Okay, Χρήστο, συμφωνούμε...δεν καταρρίπτεται το συμπέρασμα, αφού σωστό είναι...

Είμαι περίεργος να μάθω, όμως, αν έδωσε κάποιος την άσκηση σε μαθητές και πως την έλυσε τότε.

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Να βρεθεί το n.

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Σεπ 27, 2010 11:35 pm

Κοντός ψαλμός αλληλούϊα.

Αν μπεί ο APOSTOLAKIS ας μας πεί την έκβαση!


Χρήστος Κυριαζής
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Να βρεθεί το n.

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Νοέμ 21, 2010 7:51 pm

achilleas έγραψε:Είναι n=2012.

Αρκεί να δειχθεί ότι

\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2010}x-\sin x^{2010}}{x^{2012}} \ne 0}.

....
Ένας δεύτερος τρόπος υπολογισμού χρησιμοποιεί το Θέμα 20 από ένα παλιό (με μαύρο εξώφυλλο)) βιβλίο του Μπαϊλάκη, σελ. 290:

\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{x^n-\sin^n x}{x^{n+2}}=\frac{n}{6}} (όπου n\geq 1, ακέραιος)

(η ιδέα της λύσης αυτού του θέματος είναι όμοια με αυτή του Δημήτρη παραπάνω).

Γράφουμε

\displaystyle{\frac{\sin^{2010} x-\sin (x^{2010})}{x^{2012}}=\frac{x^{2010}-\sin (x^{2010})}{x^{2012}}-\frac{x^{2010}-\sin^{2010} x}{x^{2012}} (*)

Με κανόνα L'Hospital εύκολα παίρνουμε

\displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{x^{2010}-\sin (x^{2010})}{x^{2012}}=\frac{2010}{2012}\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos (x^{2010})}{x^2}=0}. (1),

ενώ από το προανεφερθέν Θέμα είναι

\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{x^{2010}-\sin^{2010} x}{x^{2012}}=-\frac{2010}{6}}. (2)

Συνεπώς, από (1) και (2), η (*) μας δίνει

\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2010}x-\sin x^{2010}}{x^{2012}} =-\frac{2010}{6}.

(το οποίο είναι ίσο με \displaystyle{\frac{2010}{2012}\left(0-\frac{2009}{6}-\frac{1}{2}\right)} που βρήκαμε πριν.


Φιλικά,

Αχιλλέας


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης