Πολυώνυμο...

#1

Έστω $\displaystyle{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}$ ένα πολυώνυμο.
Αποδείξτε ότι υπάρχει $\displaystyle{\xi}$ στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ ώστε : $|f(\xi)|\le|f(x)|$ , για κάθε

στο $\mathbb{R.}$
Δεν είμαι σίγουρος για την κατηγορία που την παραθέτω, γιατί μόλις τώρα την έπιασα...Ελπίζω πως πέφτω μέσα, για να μη σας μπερδέψω. Θα τα πούμε αύριο πάλι. Καληνύχτα σε όλους...

Y.Γ: Μετά την ανάσυρση του θέματος επεξεργάστηκα το Latex. 02/09/2013.

#2

Έστω $|f(0)|=|a_{0}|$ . Καθώς ισχύει ότι $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}|f(x)|=+\infty$ , έχουμε ότι υπάρχει M>0

τέθοιο ώστε $|x|>M\Rightarrow |f(x)|>|a_{0}|$ . Το |f(x)|

όμως στο

, λόγω συνέχειας έχει ελάχιστη τιμή, έστω την $f(x_{0})$ , δηλαδή, για κάθε $x\in[-M,M]$ είναι $|f(x)|\geq|f(x_{0})|$ . Συνολικά λοιπόν έχουμε:
-Αν |x|>M

, τότε $|f(x)|>|a_{0}|=|f(0)|\geq|f(x_{0})|$ , αφού $0\in[-M,M]$ .
-Αν $x\in[-M,M]$ , τοτε $|f(x)|\geq|f(x_{0})|$

Γκουντνάιτ!!

k-ser · #3

Καλή αυτή η ιδιότητα του πολυωνύμου και ωραία η απόδειξη του Αναστάση.

Κάποιες επιπλέον σκέψεις:

Αν το πολυώνυμο είναι περιττού βαθμού
θα έχει μια τουλάχιστον ρίζα και συνεπώς το ζητούμενο ισχύει με ξ οποιαδήποτε ρίζα του πολυωνύμου.

Αν το πολυώνυμο είναι άρτιου βαθμού, με α το συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου του τότε:
Αν α>0 το πολυώνυμο θα έχει ελάχιστη τιμή η οποία
αν είναι αρνητική θα υπάρχει ξ ώστε f(ξ)=0 οπότε έχουμε το ζητούμενο,
αν είναι θετική τότε πάλι ισχύει το ζητούμενο με ξ τον αριθμό στον οποίο έχουμε το ελάχιστο.
Αν το α<0 το πολυώνυμο θα έχει μέγιστη τιμή και φτάνουμε στο ζητούμενο με τον ίδιο τρόπο όπως στην προηγούμενη περίπτωση.

Κάτι το οποίο χρειάζεται απόδειξη στα παραπάνω είναι ότι:
Κάθε πολυώνυμο άρτιου βαθμού θα έχει ελάχιστο ή μέγιστο αν ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου του είναι θετικός ή αρνητικός αντίστοιχα.
Μια απόδειξη μπορεί να γίνει με τον τρόπο που εφαρμόζει ο Αναστάσιος στο προηγούμενο μήνυμα.
Έχω υπόψιν μου μια διαφορετική απόδειξη, η οποία δεν χρειάζεται τον ορισμό του ορίου.
Το αφήνω ως άσκηση και
υποψιάζομαι ότι μπορεί να αποδειχθεί το γενικότερο:
Μια συνεχής στο IR συνάρτηση με όρια στα $\pm \infty$ ίσα με $+\infty$ θα έχει ελάχιστο.

Μια συνεχής στο IR συνάρτηση με όρια στα $\pm \infty$ ίσα με $-\infty$ θα έχει μέγιστο.

#4

Mιας και το έθεσε ο Κώστας δίνω μία σχολική άσκηση που ως υποπροιόν έχει αυτό που λέει ο Κώστας. Την είχα βάλει και στον Pathfinder για την προετοιμασία ΑΣΕΠ αλλά δεν ασχοληθήκαμε.
1) Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ μία συνεχής συνάρτηση με $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =+\infty$ . Θεωρούμε ακόμη τις συναρτήσεις :
$\varphi \left( x\right) =\frac{x}{1-\left| x\right| },\,\ \ \ x\in \left( -1,1\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\sigma \left( x\right) =\frac{x}{1+\left| x\right| },\,\ \ \ x\in \mathbb{R}$
α) Nα αποδείξετε ότι οι $\sigma ,\varphi$ είναι αντιστρέψιμες και ότι η μία είναι αντίστροφη της άλλης.
β) Nα αποδείξετε ότι η $\sigma$ είναι γνησίως αύξουσα.
γ) 'Εστω η συνάρτηση $\omega :\left[ -1,1\right] \rightarrow \mathbb{R}$ με
$\omega \left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \pm 1 \\ \sigma \left( {f\left( {\varphi \left( x \right)} \right)} \right),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 1 < x < 1 \\ \end{array} \right.$
i) Να αποδείξετε ότι η $\omega$ είναι συνεχής.
ii) Να αποδείξετε ότι η $\omega$ έχει μέγιστη τιμή 1 και ότι $\omega \left( x \right) = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$
iii) Να αποδείξετε ότι η $\omega$ έχει ελάχιστη τιμή έστω

καί ότι $m=\sigma \left( f\left( \varphi \left( x_{0}\right) \right) \right)$ για κάποιο $x_{0}\in \left( -1,1\right)$ .
iv) Να αποδείξετε για το $x_{0}$ του προηγουμένου ερωτήματος ισχύει $f\left( \varphi \left( x\right) \right) \geq f\left( \varphi \left( x_{0}\right) \right)$ για κάθε $\ x_{0}\in \left( -1,1\right$ ).
2) Να αποδείξετε ότι η

έχει ελάχιστη τιμή.

Μαυρογιάννης

#5

Όσον αφορά τα ερωτήματα που θέτει ο Κώστας Σερίφης, το μόνο που έχω να πώ είναι πως όσο και να προσπάθησα να βρώ ''σχολική'' απόδειξη δεν μπόρεσα. Μου κάνει η πολύ καλή απόδειξη που παρέθεσε ο Αναστάσιος, σαν πρακτική...
Πληροφορώ πως και στο βιβλίο του spivak σελ 100, έχει μια εκπληκτικής κομψότητας απόδειξη, για πολυώνυμικη συνάρτηση άρτιου
βαθμού με συντελεστή μεγιστοβάθμιου 1. Όχι όμως σχολική...

#6

H απόδειξη του Αναστάση είναι ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΗ!!!

Εύγε αγαπητέ εν Χριστώ αδελφέ και συμφοιτητή!

Αλέξανδρος

#7

nsmavrogiannis έγραψε:Mιας και το έθεσε ο Κώστας δίνω μία σχολική άσκηση που ως υποπροιόν έχει αυτό που λέει ο Κώστας. Την είχα βάλει και στον Pathfinder για την προετοιμασία ΑΣΕΠ αλλά δεν ασχοληθήκαμε.
1) Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ μία συνεχής συνάρτηση με $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =+\infty$ . Θεωρούμε ακόμη τις συναρτήσεις :
$\varphi \left( x\right) =\frac{x}{1-\left| x\right| },\,\ \ \ x\in \left( -1,1\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\sigma \left( x\right) =\frac{x}{1+\left| x\right| },\,\ \ \ x\in \mathbb{R}$
α) Nα αποδείξετε ότι οι $\sigma ,\varphi$ είναι αντιστρέψιμες και ότι η μία είναι αντίστροφη της άλλης.
β) Nα αποδείξετε ότι η $\sigma$ είναι γνησίως αύξουσα.
γ) 'Εστω η συνάρτηση $\omega :\left[ -1,1\right] \rightarrow \mathbb{R}$ με
$\omega \left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \pm 1 \\ \sigma \left( {f\left( {\varphi \left( x \right)} \right)} \right),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 1 < x < 1 \\ \end{array} \right.$
i) Να αποδείξετε ότι η $\omega$ είναι συνεχής.
ii) Να αποδείξετε ότι η $\omega$ έχει μέγιστη τιμή 1 και ότι $\omega \left( x \right) = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$
iii) Να αποδείξετε ότι η $\omega$ έχει ελάχιστη τιμή έστω καί ότι $m=\sigma \left( f\left( \varphi \left( x_{0}\right) \right) \right)$ για κάποιο $x_{0}\in \left( -1,1\right)$ .
iv) Να αποδείξετε για το $x_{0}$ του προηγουμένου ερωτήματος ισχύει $f\left( \varphi \left( x\right) \right) \geq f\left( \varphi \left( x_{0}\right) \right)$ για κάθε $\ x_{0}\in \left( -1,1\right$ ).
2) Να αποδείξετε ότι η έχει ελάχιστη τιμή.

Μαυρογιάννης

Εύκολα βλέπουμε ότι οι συναρτήσεις $\varphi\,\,\, \sigma$ είναι συνεχείς και γνησίως αύξουσες στα πεδία ορισμού τους, και επιπλέον έχουμε : $\varphi(\sigma(x))=x$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ και $\sigma(\varphi(x))=x$ γιά κάθε $x\in (-1,-1)$ καθώς και $\displaystyle\lim_{x\to\pm 1}\varphi(x)=\pm\infty$ και
$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\sigma(x)=\pm 1$ , συνεπώς θα είναι $\varphi\big((-1,1)\big)=\mathbb{R}$ και $\sigma\big(\mathbb{R}\big)=(-1,1)$ .
Τώρα, στο (-1,1)

η $\omega$ είναι προφανώς συνεχής, και επιπλέον : $x\to-1^{+}\Rightarrow\varphi(x)\to -\infty\Rightarrow f(\varphi(x))\to+\infty\Rightarrow\sigma(f\varphi(x))\to+1=\omega(-1)$ αλλά και $x\to+1^{-}\Rightarrow\varphi(x)\to +\infty\Rightarrow f(\varphi(x))\to+\infty\Rightarrow\sigma(f\varphi(x))\to+1=\omega(+1)$ , άρα η $\omega$ είναι συνεχής στο [-1,1]

.
Πάμε παρακάτω..Είναι $\varphi\big((-1,1)\big)=\mathbb{R}$ άρα $f\Big(\varphi\big((-1,1)\big)\Big)=f(\mathbb{R})\subseteq\mathbb{R}$ και επειδή $\sigma\big(\mathbb{R}\big)=(-1,1)$ , έπεται ότι $\omega\big((-1,1)\big)=\sigma\Big(f\Big(\varphi\big((-1,1)\big)\Big)\Big)\subseteq (-1,1)$ , δηλαδή $\forall x\in(-1,1)$ έχουμε $\omega(x)\in(-1,1)$ . Επιπλέον $\omega(\pm1)=1$ , άρα $\omega(x)=1\Leftrightarrow x=\pm1$ .
Η $\omega$ είναι συνεχής στο [-1,1]

άρα έχει ελάχιστη τιμή, έστω

. Αν $m=\omega(1)=1$ ή $m=\omega(-1)=1$ , τότε θα έπρεπε $\omega\equiv1$ , όμως $\forall x\in(-1,1)$ έχουμε $\omega(x)\in(-1,1)$ , άτοπο, άρα $m=\sigma \left( f\left( \varphi \left( x_{0}\right) \right) \right)$ για κάποιο $x_{0}\in \left( -1,1\right)$ .
Αν τώρα υπάρχει $x_{1}\in(-1,1)$ με $f(\varphi(x_{1}))<f(\varphi(x_{0}))$ τότε, αφού η $\sigma$ είναι γνησίως αύξουσα, θα είναι $\omega(x_{1})=\sigma\big(f(\varphi(x_{1}))\big)<\sigma\big(f(\varphi(x_{0}))\big)=\omega(x_{0})=m$ , άτοπο.
Όσον αφορά την ελάχιστη τιμή της

τώρα, έχουμε: Υπάρχει $x_{0}\in(-1,1)$ τέθοιο ώστε $f\big(\varphi(x)\big)\geq f\big(\varphi(x_{0})\big)\,\,\,\forall x\in(-1,1)$ . Θέτουμε $y=\varphi(x_{0})\in\mathbb{R}$ και έχουμε: Έστω $k\in\mathbb{R}$ . Τότε $k=\varphi(k_{1})$ για κάποιο $k_{1}\in(-1,1)$ , άρα $f(k)=f\big(\varphi(k_{1})\big)\geq f\big(\varphi(x_{0})\big)=f(y)$ , άρα η

έχει ελάχιστη τιμή την $f\big(\varphi(x_{0})\big)$ .
Ωραία άσκηση και άπ ότι καταλαβαίνω, στη θέση των $\varphi,\,\,\,\sigma$ θα μπορούσαν να ήταν οποιεσδήποτε άλλες με τις αντίστοιχες ιδιότητες

#8

Καλή σας μέρα
Αναστάση πράγματι στη θέση του ζεύγους $\varphi ,\sigma$ θα μπορούσε να ήταν οποιοδηποτε ζεύγος με την $\varphi$ να είναι ένας ομοιομορφισμός από ένα ανοικτό διάστημα στην πραγματική ευθεία και $\sigma$ ο αντίστροφος του. Απλώς άλλες επιλογές (όπως της συνάρτησης εφ, και της τοξεφ) "βαραίνουν" το πράγμα. Ειδικά για τις $\varphi ,\sigma$ ζητώ (μέσω ασκήσεων) από τους μαθητές μου να είναι εξοικειωμένοι με αυτές.
Η ιδέα με την χρήση των $\varphi ,\sigma$ είναι να "δούμε" το "φαινόμενο" σε ένα πεπερασμένο διάστημα. Η ενασχόληση με τα άκρα -1, 1

ισοδυναμεί με το να αποδώσουμε τιμή για την

στα $\pm \infty$ . Είναι ως εάν να έχουμε συμπαγοποιήσει το $\mathbb{R}$ . H δική σου λύση απλη και κομψή μου θυμίζει τον γόρδιο δεσμό: Με μία σπαθιά (την ευθεία y=M

) κόβουμε τις άκριες που "πετάνε" (άρα και απομακρύνουμε το άπειρο) και ασχολούμεθα μα το συπαγές κομμάτι όπου και εκεί θα αναζητηθεί το ελάχιστο. Αναπολώ την εποχή (δυστυχώς πριν 20 χρόνια) όταν στα πρώτα βιβλία της 1ης Δέσμης είχαμε αναπτύξει επαρκώς τον ορισμό του ορίου και τεχνικές σαν αυτή που ανέπτυξε ο Αναστάσης μπορούσαν να παρουσιασθούν απρόσκοπτα.
Μαυρογιάννης

Πολυώνυμο...

Πολυώνυμο...

Re: Πολυώνυμο...

Re: Πολυώνυμο...

Re: Πολυώνυμο...

Re: Πολυώνυμο...

Re: Πολυώνυμο...

Re: Πολυώνυμο...

Re: Πολυώνυμο...

Μέλη σε σύνδεση