Με θέμα συνάρτηση

Vkalf · #1

Ένα σχετικά εύκολο θέμα πάνω στις συναρτησεις όπου το μόνο ερώτημα που παρουσιάζει ένα μικρό βαθμό δυσκολίας είναι το πρώτο.

Έστω η συνάρτηση f: R->R η οποία έχει σύνολο τιμών το (1,+00) και ισχύει $f^2(x) - 2f(x)=e^{2x} -1$ για κάθε x ανήκει στο R.

1) Να βρείτε την f.
2)Να δείξετε ότι η f είναι "1-1" και να βρείτε την αντίστροφη της.

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #2

Φαντάζομαι πως θα έπρεπε να λέει πως η f είναι συνεχής. Δίνω μια λύση θεωρώντας την f συνεχη συνάρτηση.

$\displaystyle{f^2 (x) - 2f(x) = e^{2x} - 1 \Leftrightarrow f^2 (x) - 2f(x) + 1 = e^{2x} \Leftrightarrow (f(x) - 1)^2 = e^{2x} \Leftrightarrow g^2 (x) = e^{2x} }$ (1)
Απο την (1) συμπεραίνουμε οτι η g δεν έχει ρίζες,δηλ $\displaystyle{g(x) \ne 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ .Οπότε η g σαν συνεχής συνάρτηση, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο.Όμως η f έχει σύνολο τιμών το $\displaystyle{(1, + \infty )}$ οπότε g(x)>0 ,επομένως $\displaystyle{g(x) = e^x }$ $\displaystyle{ \Leftrightarrow f(x) - 1 = e^x \Leftrightarrow f(x) = e^x + 1}$ .

Έχω $\displaystyle{f'(x) = e^x > 0}$ οπότε η f γνησίως αύξουσα σto R αρα και 1-1.
Η f έχει σύνολο τιμών το $\displaystyle{(1, + \infty )}$ οπότε η $\displaystyle{f^{ - 1} }$ θα έχει πεδίο ορισμου το $\displaystyle{(1, + \infty )}$
$\displaystyle{f(x) = y \Leftrightarrow e^x + 1 = y \Leftrightarrow e^x = y - 1 \Leftrightarrow x = \ln (y - 1)}$
οπότε $\displaystyle{f^{ - 1} (x) = \ln (x - 1)}$ με x>1

Τελικά δεν χρειαζότανε η συνέχεια στην άσκηση,οπώς έδειξαν ο Θανος και ο Μίλτος.Αφήνω την λύση διοτι ειναι μια διαφορετική αντιμετώπιση σε συναρτήσεις που γνωρίζουμε οτι είναι συνεχής.

#3

Μου φαίνεται ότι η συνέχεια δε χρειάζεται, καθώς δίνεται ότι το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το $\displaystyle{(1,+\infty).}$

Από την $\displaystyle{(f(x)-1)^2 =e^{2x}}$ προκύπτει $\displaystyle{f(x)-1=e^x.}$

Ιστοσελίδα · #4

Vkalf έγραψε: Έστω η συνάρτηση f: R->R η οποία έχει σύνολο τιμών το (1,+00) και ισχύει $f^2(x) - 2f(x)=e^{2x} -1$ για κάθε x ανήκει στο R.
1) Να βρείτε την f.
2)Να δείξετε ότι η f είναι "1-1" και να βρείτε την αντίστροφη της.

Παρά το ότι έδωσε μια πολύ καλή λύση ο Δημήτρης, δίνω μια αντιμετώπιση χωρίς την υπόθεση της συνέχειας, επειδή μπορεί να είναι ακόμα αδίδακτη στους μαθητές:
Λύση
Α) $\displaystyle{{f^2}(x) - 2f(x) = {e^{2x}} - 1 \Leftrightarrow {f^2}(x) - 2f(x) + 1 = {e^{2x}} \Leftrightarrow {(f(x) - 1)^2} = {e^{2x}} \Leftrightarrow \sqrt {{{(f(x) - 1)}^2}} = \sqrt {{e^{2x}}} \Leftrightarrow \left| {f(x) - 1} \right| = {e^x}}$ $\left( 1 \right)$ επειδή η

έχει σύνολο τιμών το $\left( {1, + \infty } \right)$ θα είναι $f\left( x \right) > 1 \Leftrightarrow f\left( x \right) - 1 > 0 \Leftrightarrow \left| {f\left( x \right) - 1} \right| = f\left( x \right) - 1$ για κάθε $x \in R$ έτσι από την $\left( 1 \right)$ έχουμε ότι $f\left( x \right) - 1 = {e^x}$ ή $f\left( x \right) = 1 + {e^x}$ για κάθε $x \in R$
Β) Η μονοτονία μπορεί να αποδειχτεί με τον ορισμό:
Για κάθε ${x_1},{x_2} \in R$ έχουμε ότι:
${x_1} < {x_2} \Rightarrow {e^{{x_1}}} < {e^{{x_2}}} \Rightarrow 1 + {e^{{x_1}}} < 1 + {e^{{x_2}}} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$ άρα η

είναι γνήσια αύξουσα επομένως 1-1 και αντιστρέψιμη.
Για την εύρεση της αντίστροφης εργαζόμαστε όπως ο Δημήτρης στο προηγούμενο μήνυμα
Μίλτος Π.

Είδα ότι όση ώρα έγραφα τη λύση απάντησε και ο Θάνος. Την αφήνω επειδή είναι λίγο αναλυτική

parmenides51 · #5

Το δεύτερο ερώτημα μπορεί να λυθεί κι ανεξάρτητα από το πρώτο ερώτημα, χωρίς δηλαδή να βρεθεί ο τύπος της $\displaystyle{f}$ .

Με θέμα συνάρτηση

Με θέμα συνάρτηση

Re: Με θέμα συνάρτηση

Re: Με θέμα συνάρτηση

Re: Με θέμα συνάρτηση

Re: Με θέμα συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση