Με θέμα συνάρτηση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Vkalf
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Παρ Σεπ 24, 2010 2:52 pm

Με θέμα συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Vkalf » Τετ Οκτ 13, 2010 4:24 pm

Ένα σχετικά εύκολο θέμα πάνω στις συναρτησεις όπου το μόνο ερώτημα που παρουσιάζει ένα μικρό βαθμό δυσκολίας είναι το πρώτο.

Έστω η συνάρτηση f: R->R η οποία έχει σύνολο τιμών το (1,+00) και ισχύει f^2(x) - 2f(x)=e^{2x} -1 για κάθε x ανήκει στο R.

1) Να βρείτε την f.
2)Να δείξετε ότι η f είναι "1-1" και να βρείτε την αντίστροφη της.


Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: Με θέμα συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Τετ Οκτ 13, 2010 11:04 pm

Φαντάζομαι πως θα έπρεπε να λέει πως η f είναι συνεχής. Δίνω μια λύση θεωρώντας την f συνεχη συνάρτηση.

\displaystyle{f^2 (x) - 2f(x) = e^{2x}  - 1 \Leftrightarrow f^2 (x) - 2f(x) + 1 = e^{2x}  \Leftrightarrow (f(x) - 1)^2  = e^{2x}  \Leftrightarrow g^2 (x) = e^{2x} } (1)
Απο την (1) συμπεραίνουμε οτι η g δεν έχει ρίζες,δηλ \displaystyle{g(x) \ne 0} για κάθε \displaystyle{x \in R}.Οπότε η g σαν συνεχής συνάρτηση, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο.Όμως η f έχει σύνολο τιμών το \displaystyle{(1, + \infty )} οπότε g(x)>0 ,επομένως \displaystyle{g(x) = e^x }\displaystyle{ 
 \Leftrightarrow f(x) - 1 = e^x  \Leftrightarrow f(x) = e^x  + 1}.

Έχω \displaystyle{f'(x) = e^x  > 0} οπότε η f γνησίως αύξουσα σto R αρα και 1-1.
Η f έχει σύνολο τιμών το \displaystyle{(1, + \infty )} οπότε η \displaystyle{f^{ - 1} } θα έχει πεδίο ορισμου το \displaystyle{(1, + \infty )}
\displaystyle{f(x) = y \Leftrightarrow e^x  + 1 = y \Leftrightarrow e^x  = y - 1 \Leftrightarrow x = \ln (y - 1)}
οπότε \displaystyle{f^{ - 1} (x) = \ln (x - 1)} με x>1

Τελικά δεν χρειαζότανε η συνέχεια στην άσκηση,οπώς έδειξαν ο Θανος και ο Μίλτος.Αφήνω την λύση διοτι ειναι μια διαφορετική αντιμετώπιση σε συναρτήσεις που γνωρίζουμε οτι είναι συνεχής.
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ σε Πέμ Οκτ 14, 2010 12:24 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6174
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Με θέμα συνάρτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Οκτ 13, 2010 11:23 pm

Μου φαίνεται ότι η συνέχεια δε χρειάζεται, καθώς δίνεται ότι το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το \displaystyle{(1,+\infty).}

Από την \displaystyle{(f(x)-1)^2 =e^{2x}} προκύπτει \displaystyle{f(x)-1=e^x.}


Μάγκος Θάνος
m.pαpαgrigorakis
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1196
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
Τοποθεσία: Χανιά
Επικοινωνία:

Re: Με θέμα συνάρτηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από m.pαpαgrigorakis » Τετ Οκτ 13, 2010 11:37 pm

Vkalf έγραψε: Έστω η συνάρτηση f: R->R η οποία έχει σύνολο τιμών το (1,+00) και ισχύει f^2(x) - 2f(x)=e^{2x} -1 για κάθε x ανήκει στο R.
1) Να βρείτε την f.
2)Να δείξετε ότι η f είναι "1-1" και να βρείτε την αντίστροφη της.
Παρά το ότι έδωσε μια πολύ καλή λύση ο Δημήτρης, δίνω μια αντιμετώπιση χωρίς την υπόθεση της συνέχειας, επειδή μπορεί να είναι ακόμα αδίδακτη στους μαθητές:
Λύση
Α) \displaystyle{{f^2}(x) - 2f(x) = {e^{2x}} - 1 \Leftrightarrow {f^2}(x) - 2f(x) + 1 = {e^{2x}} \Leftrightarrow {(f(x) - 1)^2} = {e^{2x}} \Leftrightarrow \sqrt {{{(f(x) - 1)}^2}}  = \sqrt {{e^{2x}}}  \Leftrightarrow \left| {f(x) - 1} \right| = {e^x}} \left( 1 \right) επειδή η f έχει σύνολο τιμών το \left( {1, + \infty } \right) θα είναι f\left( x \right) > 1 \Leftrightarrow f\left( x \right) - 1 > 0 \Leftrightarrow \left| {f\left( x \right) - 1} \right| = f\left( x \right) - 1 για κάθε x \in R έτσι από την \left( 1 \right) έχουμε ότι f\left( x \right) - 1 = {e^x} ή f\left( x \right) = 1 + {e^x} για κάθε x \in R
Β) Η μονοτονία μπορεί να αποδειχτεί με τον ορισμό:
Για κάθε {x_1},{x_2} \in R έχουμε ότι:
{x_1} < {x_2} \Rightarrow {e^{{x_1}}} < {e^{{x_2}}} \Rightarrow 1 + {e^{{x_1}}} < 1 + {e^{{x_2}}} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right) άρα η f είναι γνήσια αύξουσα επομένως 1-1 και αντιστρέψιμη.
Για την εύρεση της αντίστροφης εργαζόμαστε όπως ο Δημήτρης στο προηγούμενο μήνυμα
Μίλτος Π.

Είδα ότι όση ώρα έγραφα τη λύση απάντησε και ο Θάνος. Την αφήνω επειδή είναι λίγο αναλυτική


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Με θέμα συνάρτηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Κυρ Οκτ 23, 2011 2:26 pm

Το δεύτερο ερώτημα μπορεί να λυθεί κι ανεξάρτητα από το πρώτο ερώτημα, χωρίς δηλαδή να βρεθεί ο τύπος της \displaystyle{f}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης