Συνεχεια συναρτησης

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Νίκος Ζαφειρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 289
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Συνεχεια συναρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ζαφειρόπουλος » Πέμ Οκτ 14, 2010 1:09 am

Εστω οτι δινεται η συναρτηση
f(x)=\begin{cases} 
& \text {x-1 } ,   x<0 \\ 
& \text {cosx} ,   x\geq 0 
\end{cases}
Αν εξεταζουμε την f ως προς την συνεχεια , η σωστη απαντηση ειναι :
Α. Η f ειναι συνεχης στο (-\infty ,0) \bigcup (0,+\infty)
Β. Η f ειναι συνεχης στο (-\infty , 0) και στο [0,+\infty) ,ενω ειναι ασυνεχης στο 0.

Ειναι και οι δυο σωστες ή καμια;

Αν ειναι ευκολο , η απαντηση να μην ειναι ενα ξερο Α ή Β


Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Συνεχεια συναρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Πέμ Οκτ 14, 2010 9:01 am

Είναι πράγματι απλό.

Πρέπει να μελετήσεις τη συνέχεια για τις περιπτώσεις:
* x < 0,
* x > 0,
* x = 0.
* Για x < 0, έχουμε f(x) =x-1 που είναι συνεχής ως πολυωνυμική,
* Για x > 0, έχουμε f(x)=cosx που είναι συνεχής ως τριγωνομετρική,
* Επίσης: \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^-}(x-1)=0-1=-1} και \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^-}cos0=1}. Συνεπώς \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x) \neq \lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)}, δηλαδή δεν υπάρχει το όριο στο 0, οπότε δεν είναι συνεχής στο 0.

Συνεπώς σωστό είναι το A.
τελευταία επεξεργασία από Πρωτοπαπάς Λευτέρης σε Σάβ Οκτ 16, 2010 10:59 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Νίκος Ζαφειρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 289
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Re: Συνεχεια συναρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ζαφειρόπουλος » Πέμ Οκτ 14, 2010 9:59 am

Να προσπαθησουμε να απαντησουμε σε δυο ερωτησεις ;
Η f ειναι συνεχης στο [0,+\infty);
Η f ειναι συνεχης στο 0;


Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Συνεχεια συναρτησης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Πέμ Οκτ 14, 2010 11:56 am

Είναι προφανές από την προηγούμενη δημοσίευση ότι η f δεν είναι συνεχής στο 0, είναι συνεχής στο (0,+\infty) και ασυνεχής στο [0,+\infty) .


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Νίκος Ζαφειρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 289
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Re: Συνεχεια συναρτησης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ζαφειρόπουλος » Πέμ Οκτ 14, 2010 1:24 pm

Για να ειναι η f συνεχης στο [0,+\infty) πρεπει η f να ειναι συνεχης σε καθε εσωτερικο σημειο του παραπανω διαστηματος και \lim_{x \rightarrow 0^+}f(x)=f(0) .Εδω ισχυουν και τα δυο. Αρα η f ειναι συνεχης στο [0,+\infty). Στο 0 βεβαια δεν ειναι συνεχης!!!


pana1333
Δημοσιεύσεις: 1036
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Συνεχεια συναρτησης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pana1333 » Πέμ Οκτ 14, 2010 2:29 pm

NIZ έγραψε:Για να ειναι η f συνεχης στο [0,+\infty) πρεπει η f να ειναι συνεχης σε καθε εσωτερικο σημειο του παραπανω διαστηματος και \lim_{x \rightarrow 0^+}f(x)=f(0) .Εδω ισχυουν και τα δυο. Αρα η f ειναι συνεχης στο . Στο 0 βεβαια δεν ειναι συνεχης!!!
Καλησπέρα. Καταλαβαίνω ακριβώς τι λες απλα ξεχνάς κάτι σημαντικό. Πρόσεξε η συνάρτηση g\left(x \right)=cos\left(x \right),x\geq 0 είναι συνεχής για όλα τα x\geq 0. Δεν είναι όμως η g η συνάρτηση που μελετάς αλλά η f της οποίας το πεδίο ορισμού δεν είναι μόνο το διάστημα \[[0,+\infty) αλλά το R στο οποίο δεν υπάρχει το όριο \lim_{x\rightarrow 0}\left(f\left(x \right) \right) άρα η f δεν είναι συνεχής στο 0.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Νίκος Ζαφειρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 289
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Re: Συνεχεια συναρτησης

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ζαφειρόπουλος » Παρ Οκτ 15, 2010 12:48 am

Η συναρτηση που εχω φερει ως παραδειγμα στην αρχικη μου δημοσιευση δεν ειναι συνεχης στο 0. Αυτο φυσικα ειναι προφανες.Απο την αλλη ομως ειναι συνεχης στο [0, +\infty) Θυμηθειτε π.χ. πως βρισκουμε το συνολο τιμων μιας συναρτησης που ειναι ορισμενη με διαφορετικους τυπους κατα διαστηματα. Δειτε τον ορισμο του ποτε μια συναρτηση ειναι συνεχης σε ενα διαστημα κλειστο ή οχι (Το σχολικο βιβλιο Γ Λυκειου Κατ. εχει και τον ορισμο εχει και σχηματα ). Η ερωτηση μου στην αρχικη δημοσιευση αφορουσε το εξης :
Η απαντηση Α ειναι η συνηθης.
Η απαντηση Β ομως δεν νομιζω οτι ειναι λαθος.

Συναδελφικα...


mtsarduckas
Δημοσιεύσεις: 106
Εγγραφή: Πέμ Απρ 09, 2009 9:44 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Συνεχεια συναρτησης

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mtsarduckas » Παρ Οκτ 15, 2010 1:19 am

Λέγοντας "η f ειναι συνεχης στο (-\infty , 0) και στο [0,+\infty) " εννοείτε ότι η f είναι συνεχής στο (-\infty,0)\cup[0,+\infty) ή εννοείτε ότι η f είναι συνεχής στα δύο αυτά διαστήματα;


Νίκος Ζαφειρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 289
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Re: Συνεχεια συναρτησης

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ζαφειρόπουλος » Παρ Οκτ 15, 2010 3:45 pm

mtsarduckas έγραψε:Λέγοντας "η f ειναι συνεχης στο (-\infty , 0) και στο [0,+\infty) " εννοείτε ότι η f είναι συνεχής στο (-\infty,0)\cup[0,+\infty) ή εννοείτε ότι η f είναι συνεχής στα δύο αυτά διαστήματα;
Η συναρτηση ειναι συνεχης σε καθε διαστημα χωριστα και οχι βεβαια στην ενωση τους.
Για την συνεχεια στο [0,+\infty), νομιζω οτι αδικα εγινε συζητηση, αφου η f ειναι συνεχης απο δεξια στο 0.
Ευχαριστω, παντως, οσους εγραψαν την αποψη τους.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2178
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Συνεχεια συναρτησης

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Σάβ Οκτ 16, 2010 1:44 am

NIZ έγραψε:
mtsarduckas έγραψε:Λέγοντας "η f ειναι συνεχης στο (-\infty , 0) και στο [0,+\infty) " εννοείτε ότι η f είναι συνεχής στο (-\infty,0)\cup[0,+\infty) ή εννοείτε ότι η f είναι συνεχής στα δύο αυτά διαστήματα;
Η συναρτηση ειναι συνεχης σε καθε διαστημα χωριστα και οχι βεβαια στην ενωση τους.
Για την συνεχεια στο [0,+\infty), νομιζω οτι αδικα εγινε συζητηση, αφου η f ειναι συνεχης απο δεξια στο 0.
Ευχαριστω, παντως, οσους εγραψαν την αποψη τους.
Συμφωνώ να δώσω και ένα σχήμα που η φ είναι συνεχής στο [α,β] χωρίς να είναι συνεχής ούτε στο α ούτε στο β
Clipboard01.png
Clipboard01.png (1.29 KiB) Προβλήθηκε 1663 φορές


Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Συνεχεια συναρτησης

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Σάβ Οκτ 16, 2010 10:59 am

Είναι έξυπνο και πονηρό το ερώτημα φίλε ΝΙΖ.

Με τη 2η δημοσίευσή σου κατάλαβα το λάθος.

Μπράβο!!!


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1850
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Συνεχεια συναρτησης

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Σάβ Οκτ 16, 2010 11:35 am

Αυτό θα μπορούσε να φανεί καλύτερα παρατηρώντας το πραγματικό σχήμα της συνάρτησης αυτής:
f(x) =  
\begin{cases}  
 x-1, & \mbox{ }x<0\mbox{ } \\ 
cosx, & \mbox{ }x\geq  0\mbox{ }  
\end{cases}
στο συνημμένο αρχείο του Geogebra.
Συνημμένα
Συνέχεια συνάρτησης.ggb
(3.85 KiB) Μεταφορτώθηκε 140 φορές


Θανάσης Νικολόπουλος
Δημοσιεύσεις: 101
Εγγραφή: Σάβ Σεπ 18, 2010 12:51 pm

Re: Συνεχεια συναρτησης

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Θανάσης Νικολόπουλος » Δευ Οκτ 18, 2010 10:24 am

Είναι πολύ καλό το ερώτημα, ακριβώς γιατί αναδεικνύει αυτό το λεπτό σημείο της συνέχειας σε διάστημα σε αντιδιαστολή με τη συνέχεια σε σημείο...

Πάντως μου επιτρέπετε μία αιρετική σκέψη;

Αυτός ο ορισμός στο βιβλίο δεν είναι λάθος, ή έστω αμφιλεγόμενος;

Και εννοώ το εξής: Λέμε ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής σε σύνολο Α αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του Α, αλλά το "ξελέμε" για διάστημα; Ποτέ δεν μου άρεσε αυτή η ιδέα...

Γιατί στη γενική παιδεία μαθαίνουμε στα παιδιά ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της Α, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του Α. Και μετά ερχόμαστε και λέμε ότι ξέρετε για τα διαστήματα (προφανώς υποδιαστήματα του πεδίου ορισμού) τα πράγματα είναι λίγο διαφορετικά...

Αν και μπορούμε να ξεφύγουμε από το σκόπελο στηριζόμενοι στη διαφορά πεδίου ορισμού / υποσυνόλου του πεδίου ορισμού, και πάλι δεν είμαστε λίγο ανακόλουθοι;

Ή μήπως απλά εγώ απέχω λίγο από το σωστό ορισμό της συνέχειας; Παίζει κι αυτό... :oops:

(Χμμ, τώρα που το σκέφτομαι κάτι ανάλογο γίνεται και με τις πλευρικές παραγώγους σωστά; Πάω να στρωθώ στο διάβασμα να το χωνέψω...)


Νικολόπουλος Αθανάσιος
Γυμνάσιο & ΓΕΛ Κατασταρίου Ζακύνθου
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης