Απορία σε παράγωγο

alekos100 · #1

Δίνεται συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει f(1)=2

και

Να υπολογίσετε τα ορio: $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{e^{x}f(x)-2e}{x-1}$

Στις υποδείξεις λέει : Αν $h(x)=e^{x}f(x)$ , τότε το όριο είναι ίσο με {h}'(1)=5e

Η απορία μου είναι πως θα παραγωγίσουμε την συνάρτηση h(x)

αφού η

είναι παραγωγίσιμη μόνο στο

.

Όταν είναι παραγωγίσιμη μόνο στο 1 δεν εφαρμόζουμε κανόνες παραγώγισης πάμε με ορισμό (αν κατάλαβα σωστά από αυτά που έχω διαβάσει)

Άρα πρέπει να μας δώσει

πραγωγίσιμη ;

G.Bas · #2

alekos100 έγραψε:Δίνεται συάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει και
Να υπολογίσετε τα ορio: $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{e^{x}f(x)-2e}{x-1}$

Στις υποδείξεις λέει : Αν $h(x)=e^{x}f(x)$ , τότε το όριο είναι ίσο με

Η απορία μου είναι πως θα παραγωγίσουμε την συνάρτηση αφού η είναι παραγωγίσιμη μόνο .

Όταν είναι παραγωγίσιμη μόνο στο 1 δεν εφαρμόζουμε κανόνες παραγώγισης πάμε με ορισμό (αν κατάλαβα σωστά από αυτά που έχω διαβάσει)

Άρα πρέπει να μας δώσει πραγωγίσιμη ;

Σύμφωνα με την υπόδειξη το όριο γράφεται

$\displaystyle{\lim_{x\to 1}\frac{h(x)-h(1)}{x-1}.}$

Τώρα, η

είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x_0=1

άρα και η

επίσης αφού είναι αποτέλεσμα πράξεων, των παραγωγίσιμων στο x_0=1

,

και

. Επομένως είναι

$\displaystyle{\lim_{x\to 1}\frac{h(x)-h(1)}{x-1}=h'(1).}$

Για την παραγώγιση της

θα παραγωγίσεις κανονικά, με τους γνωστούς κανόνες, μόνο που στην προκειμένη περίπτωση θα έχουμε τη γραφή $\displaystyle{h'(x)|_{x_0=1}=\cdots.}$

alekos100 · #3

G.Bas έγραψε:
Σύμφωνα με την υπόδειξη το όριο γράφεται

$\displaystyle{\lim_{x\to 1}\frac{h(x)-h(1)}{x-1}.}$

Τώρα, η είναι παραγωγίσιμη στο σημείο άρα και η επίσης αφού είναι αποτέλεσμα πράξεων, των παραγωγίσιμων στο , και . Επομένως είναι

$\displaystyle{\lim_{x\to 1}\frac{h(x)-h(1)}{x-1}=h'(1).}$

Για την παραγώγιση της θα παραγωγίσεις κανονικά, με τους γνωστούς κανόνες, μόνο που στην προκειμένη περίπτωση θα έχουμε τη γραφή $\displaystyle{h'(x)|_{x_0=1}=\cdots.}$

Η γραφή που μου λες υπάρχει σε βιβλίο γ λυκείου ;

G.Bas · #4

Αν θυμάμαι καλά υπάρχει σαν ιστορικό στοιχείο στην αρχή της ενότητας που αναφέρει ότι πρωτοεισήγαγε τον συμβολισμό αυτό ο Leibniz.

alekos100 · #5

Η παρακάτω άσκηση είναι σωστή (;)

Δίνεται η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ παραγωγίσιμη στο

για την οποία ισχύει:
$f^{3}(x)+3xf(x)=x^{3}-1$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$
Να βρείτε την {f}'(0)

λύση

Θέτουμε x=0

και προκύπτει $f^{3}(0)+3\cdot 0\cdot f (0)=0^{3}-1\Rightarrow f(0)=-1$
Αν η f ήταν παραγωγίσιμη στο ΙR , θα ίσχυε :

$3f^{2}(x){f}'(x)+3f(x)+3x{f}'(x)=3x^{2}$

Ο τύπος όμως αυτός ισχύει και όταν η f είναι παραγωγίσιμη μόνο στο

. Επομένως :

$3f^{2}(0){f}'(0)+3f(0)+3\cdot 0{f}'(0)=3\cdot 0^{2}\Rightarrow 3\cdot (-1)^{2}\cdot{f}'(0)+3\cdot (-1)=0\Rightarrow$
$3{f}'(0)-3=0\Rightarrow {f}'(0)=1$

Ας μου απαντήσει κάποιος
ευχαριστώ
(Στο βιβλίο την λύνει με ορισμό )

dennys · #6

Αλέκο καλημέρα
Εχεις μια δυσπιστία χωρίς αιτία .Σου απάντησε ο G-Bas , τί άλλο πρέπει να σου πει κάποιος.
Οι τύποι των κανόνων ισχύουν και σε σημείο χο .Το βιβλίο την λύνει με ορισμό ,αλλά αυτό
δεν σημαίνει ότι δεν γίνεται και έτσι .

φιλικά

Christos.N · #7

alekos100 έγραψε:Δίνεται συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει και
Να υπολογίσετε τα ορio: $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{e^{x}f(x)-2e}{x-1}$

Στις υποδείξεις λέει : Αν $h(x)=e^{x}f(x)$ , τότε το όριο είναι ίσο με

Η απορία μου είναι πως θα παραγωγίσουμε την συνάρτηση αφού η είναι παραγωγίσιμη μόνο στο .

Όταν είναι παραγωγίσιμη μόνο στο 1 δεν εφαρμόζουμε κανόνες παραγώγισης πάμε με ορισμό (αν κατάλαβα σωστά από αυτά που έχω διαβάσει)

Άρα πρέπει να μας δώσει πραγωγίσιμη ;

Αλέκο μπορεί να καλύψω την απορία σου με αυτήν την απόδειξη.

$\displaystyle{\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{e^x}f\left( x \right) - 2e}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{e^x}f\left( x \right) - ef(x) + ef(x) - 2e}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)\left( {{e^x} - e} \right) + e\left( {f(x) - f\left( 1 \right)} \right)}}{{x - 1}}\\ \\ \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {\frac{{\left( {{e^x} - {e^1}} \right)}}{{x - 1}}f\left( x \right) + {e^1}\frac{{\left( {f(x) - f\left( 1 \right)} \right)}}{{x - 1}}} \right] = {\left. {\frac{{d{e^x}}}{{dx}}} \right|_{x = 1}} \cdot f\left( 1 \right) + {e^1} \cdot {\left. {\frac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = 1}} \end{array}}$

δηλαδή ισχύει ο κανόνας παραγώγισης γινομένου σε σημείο.

Απορία σε παράγωγο

Απορία σε παράγωγο

Re: Απορία σε παράγωγο

Re: Απορία σε παράγωγο

Re: Απορία σε παράγωγο

Re: Απορία σε παράγωγο

Re: Απορία σε παράγωγο

Re: Απορία σε παράγωγο

Μέλη σε σύνδεση