Ανισότητα με cos

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Δείξτε ότι
για x> 0

ισχύει $\cos x< 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}$

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Δείξτε ότι
για
ισχύει $\cos x< 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}$

Ολοκληρώνουμε από

ως

την $1-\cos t \ge 0$ . Θα βρούμε (την γνωστή άλλωστε) $x-\sin x >0$ . Κάνουμε ακριβώς το ίδιο με αυτό που βρήκαμε. Και το ξανακάνουμε άλλες τρεις φορές. Θα βρούμε διαδοχικά

$1-\frac{x^{2}}{2} < \cos x$

$x-\frac{x^{3}}{6} < \sin x$

$\cos x< 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}$

Αν θέλουμε να συνεχίσουμε θα βρούμε

$\sin x < x -\frac{x^{3}}{3!}+ \frac{x^{5}}{5!}$

$1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} < \cos x$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Ο Μιχάλης την πήγε στον Ολοκληρωτικό Λογισμό.
Να δώσουμε μια λύση με Διαφορικό Λογισμό.
(στην ουσία είναι ίδια με διαφορετική παρουσίαση)

Θεωρούμε την $g(x)=\cos x-1+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{24}$
Υπολογίζουμε

$g'(x)=-\sin x+x-\frac{x^{3}}{6}$

$g''(x)=-\cos x+1-\frac{x^{2}}{2}$

$g'''(x)=\sin x-x$

Εχουμε g(0)=g'(0)=g''(0)=0

Επειδή $\sin x-x< 0,x> 0$ έχουμε g''

γνησίως φθίνουσα.

Προκύπτει ότι και g',g

γνησίως φθίνουσες.

Αρα g(x)< g(0)=0

για

Δηλαδή το ζητούμενο.

Ανισότητα με cos

Ανισότητα με cos

Re: Ανισότητα με cos

Re: Ανισότητα με cos

Μέλη σε σύνδεση