Για θέμα Β...

M.S.Vovos · #1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\frac{\ln \left ( e^{x}-x \right )}{\left | x \right |}}$ .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της

.

Έστω, επιπλέον, η συνάρτηση: $\displaystyle{g(x)=\left\{\begin{matrix} f(x) &,x\neq 0 \\\\ 0 &,x=0 \end{matrix}\right.}$

β) Να εξετάσετε αν ο παρακάτω ισχυρισμός είναι αληθής ή ψευδής, αιτιολογώντας σε κάθε περίπτωση την απάντηση σας:

"Η συνάρτηση

είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και η γραφική της παράσταση δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο τομής των αξόνων."

γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες ευθείες της γραφικής παράστασης της

και στη συνέχεια, να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης $\displaystyle{g(x)=1}$ , $x\in \mathbb{R}$ .

Φιλικά,
Μάριος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

M.S.Vovos έγραψε: Πέμ Οκτ 19, 2017 11:29 pm Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\frac{\ln \left ( e^{x}-x \right )}{\left | x \right |}}$ .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της .

Φιλικά,
Μάριος

Θα δώσω μια λύση η οποία δεν πιστεύω ότι είναι σχολική.

Πεδίο ορισμού είναι το $\mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}$

Είναι γνωστό ότι $e^{x}> 1+x$ για $x\neq 0$

Για x>0

είναι

γιατί $ln(e^{x}-x)< ln(e^{x})=x$

Για x<0

γιατι $ln(e^{x}-x)< ln(1+\left | x \right |)< \left | x \right |$

Είναι προφανές ότι για

$x\neq 0$ είναι f(x)>0

Ευκολα βρίσκουμε ότι $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=1$

και

$\lim_{x\rightarrow 0 }f(x)=0$

Αρα το πεδίο τιμών είναι το (0,1)

Περιμένω σχολική λύση.

Tolaso J Kos · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Περιμένω σχολική λύση.

Σταύρο μία χαρά σχολική λύση μου φαίνεται. Έχω κάνει τα ίδια αλλά αμέλησα να σχολιάσω ή να αναρτήσω τη λύση.
Πού πιστεύεις ότι δεν είναι σχολικό ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Το σχολικό λέει για μονότονες συναρτήσεις.

Εδώ δεν ξέρουμε αν είναι μονότονη.

Βέβαια μπορεί να αποδειχθεί με το Θ.Ε.Τ ότι

Αν $f:(0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής και

1) $x> 0\Rightarrow a< f(x)< b$

2) $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=a,\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=b$

τότε $f((0,\infty ))=(a,b)$

Να αποδειχθούν και κάποια αλλά και να γίνει σχολική.

Με αυτή την λογική (κάνοντας διάφορα ακροβατικά) πολλά θεωρήματα της ανάλυσης μπορούν να
αποδειχθούν με σχολική ύλη.
Η προσωπική μου γνώμη είναι ότι δεν είναι σωστό.

Συμπλήρωμα.
https://www.jstor.org/stable/2695443
Ελπίζω μην δω κάποτε το παραπάνω σαν άσκηση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

M.S.Vovos έγραψε: Πέμ Οκτ 19, 2017 11:29 pm Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\frac{\ln \left ( e^{x}-x \right )}{\left | x \right |}}$ .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της .

Έστω, επιπλέον, η συνάρτηση: $\displaystyle{g(x)=\left\{\begin{matrix} f(x) &,x\neq 0 \\\\ 0 &,x=0 \end{matrix}\right.}$

β) Να εξετάσετε αν ο παρακάτω ισχυρισμός είναι αληθής ή ψευδής, αιτιολογώντας σε κάθε περίπτωση την απάντηση σας:

"Η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και η γραφική της παράσταση δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο τομής των αξόνων."

γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες ευθείες της γραφικής παράστασης της και στη συνέχεια, να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης $\displaystyle{g(x)=1}$ , $x\in \mathbb{R}$ .

Φιλικά,
Μάριος

Μάριε τι λύση έχεις για το α) με σχολική ύλη;
Γιατί αν θεωρείς την δική μου σχολική τότε ΧΑΣΑΜΕ.
Το ερώτημα απευθύνεται σε όλους.

M.S.Vovos · #6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Τετ Οκτ 25, 2017 4:17 pm
M.S.Vovos έγραψε: Πέμ Οκτ 19, 2017 11:29 pm Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\frac{\ln \left ( e^{x}-x \right )}{\left | x \right |}}$ .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της .

Έστω, επιπλέον, η συνάρτηση: $\displaystyle{g(x)=\left\{\begin{matrix} f(x) &,x\neq 0 \\\\ 0 &,x=0 \end{matrix}\right.}$

β) Να εξετάσετε αν ο παρακάτω ισχυρισμός είναι αληθής ή ψευδής, αιτιολογώντας σε κάθε περίπτωση την απάντηση σας:

"Η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και η γραφική της παράσταση δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο τομής των αξόνων."

γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες ευθείες της γραφικής παράστασης της και στη συνέχεια, να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης $\displaystyle{g(x)=1}$ , $x\in \mathbb{R}$ .

Φιλικά,
Μάριος
Μάριε τι λύση έχεις για το α) με σχολική ύλη;
Γιατί αν θεωρείς την δική μου σχολική τότε ΧΑΣΑΜΕ.
Το ερώτημα απευθύνεται σε όλους.

Ίδια λύση έχουμε. Εμένα μου φαίνεται τραβηγμένη από τα μαλλιά όσο δε πάει... Το θεώρημα που αναφέρεις το χρησιμοποίησα πρώτη φορά στον Απειροστικό Λογισμό I.

Να τονίσω ότι μου την φέρανε από το σχολείο...

#7

M.S.Vovos έγραψε: Τετ Νοέμ 01, 2017 4:41 pm
Να τονίσω ότι μου την φέρανε από το σχολείο...

Σε ποιο σχολείο έχουν διδαχτεί μέχρι τον Οκτώβρη εφαπτόμενες και ασύμπτωτες;

Για θέμα Β...

Για θέμα Β...

Re: Για θέμα Β...

Re: Για θέμα Β...

Re: Για θέμα Β...

Re: Για θέμα Β...

Re: Για θέμα Β...

Re: Για θέμα Β...

Μέλη σε σύνδεση