Ασύμπτωτη

#1

Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle f(x) = \frac{{3{x^2} + 4x + 5}}{{x + 1}}$ και $\displaystyle g(x) = \frac{{6{x^3} + 11{x^2} + 13x + 15}}{{{x^2} + x}}$
Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη στο $\displaystyle + \infty$ της συνάρτησης $\displaystyle f \circ g$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

exdx έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 10, 2018 8:07 am
Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle f(x) = \frac{{3{x^2} + 4x + 5}}{{x + 1}}$ και $\displaystyle g(x) = \frac{{6{x^3} + 11{x^2} + 13x + 15}}{{{x^2} + x}}$
Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη στο $\displaystyle + \infty$ της συνάρτησης $\displaystyle f \circ g$

Επειδή $\lim_{x\rightarrow +\infty }g(x)=+\infty$ θα υπάρχει $a\in R$ τέτοιο, ώστε στο διάστημα $(a,+\infty )$ η

να παίρνει θετικές τιμές και συνεπώς δεν θα μηδενίζεται.

Έχουμε λοιπόν ότι

$\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f(g(x))}{x}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f(g(x))}{g(x)}\cdot \frac{g(x)}{x}=\lim_{u\rightarrow +\infty }\frac{f(u)}{u}\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{g(x)}{x}=3\cdot 6=18.$

Επιπλέον

$\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( f(g(x))-18x \right )=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left\left ( f(g(x))-3g(x)+3g(x)-18x\right )=\lim_{x\rightarrow +\infty } (f(g(x))-3g(x))$
$+\lim_{x\rightarrow +\infty }(3g(x)-18x)=\lim_{u\rightarrow +\infty }(f(u)-3u)+\lim_{x\rightarrow +\infty }(3g(x)-18x)=...=1+15=16.$

Άρα η ζητούμενη ασύμπτωτη είναι η y=18x+16.

Λάμπρος Κατσάπας · #3

exdx έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 10, 2018 8:07 am
Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle f(x) = \frac{{3{x^2} + 4x + 5}}{{x + 1}}$ και $\displaystyle g(x) = \frac{{6{x^3} + 11{x^2} + 13x + 15}}{{{x^2} + x}}$
Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη στο $\displaystyle + \infty$ της συνάρτησης $\displaystyle f \circ g$

Διαφορετικά.

Εκτελώντας τις διαιρέσεις παίρνουμε:

$f(x)=3x+1+\frac{4}{x+1}$ και $g(x)=6x+5+\frac{8x+15}{x^2+x}.$

Υπάρχει $a\in R$ τέτοιο, ώστε g(x)>-1

στο $(a,+\infty ).$

Άρα στο $(a,+\infty )$ είναι $f(g(x))=1+3g(x)+\frac{4}{g(x)+1}=1+3(6x+5)+h(x)=18x+16+h(x)$

όπου

ρητή συνάρτηση με βαθμό αριθμητή 4 και παρονομαστή 5 (έχει κάποιες επίπονες πράξεις εδώ)

και επομένως $\lim_{x\rightarrow +\infty }h(x)=0$ .

Από την τελευταία παίρνουμε $\lim_{x\rightarrow +\infty } (f(g(x))-(18x+16))=\lim_{x\rightarrow +\infty }h(x)=0.$

Η ασύμπτωτη είναι λοιπόν η y=18x+16.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Δεν νομίζω ότι είναι δύσκολο να αποδειχθεί το γενικό

Εστω $f,g:(0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$

Αν στο $\infty$ η

έχει ασύμπτωτη την y=ax+b,a> 0

και η

την

,

ορίζεται η $fog:(k,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$

τότε η fog

έχει ασύμπτωτη στο $\infty$ την y=c(ax+b)+d=cax+cb+d

Ασύμπτωτη

Ασύμπτωτη

Re: Ασύμπτωτη

Re: Ασύμπτωτη

Re: Ασύμπτωτη

Μέλη σε σύνδεση