Το μήκος της σκιάς

#1

Ένας άνθρωπος κινείται από το $\displaystyle A$ μέχρι τον τοίχο $\displaystyle T$ . ( Τα απαραίτητα στοιχεία , όπως στο σχήμα )
α) Να εκφράσετε το μήκος της σκιάς $\displaystyle s$ (στο πάτωμα ή/και στον τοίχο ) ως συνάρτηση του $\displaystyle x$ .
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής .
γ) Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη .
δ) Να βρείτε πότε η σκιά έχει το μεγαλύτερο μήκος .

: Untitled2.png (11.12 KiB) Προβλήθηκε 978 φορές

#2

Καλημέρα σε όλους. Κάνω μια προσπάθεια στο ενδιαφέρον πρόβλημα του Γιώργη.

: Skia 23-06-2018.png (20.65 KiB) Προβλήθηκε 911 φορές

Στο χρονικό διάστημα για το οποίο το $\displaystyle \Sigma$ βρίσκεται στο

, από την ομοιότητα των τριγώνων $\displaystyle \Pi {\rm K}\Sigma ,\;{\rm A}{\rm B}\Sigma$ έχουμε $\displaystyle \frac{{\Pi {\rm K}}}{{{\rm A}{\rm B}}} = \frac{{\Pi \Sigma }}{{\Pi {\rm A}}} \Leftrightarrow \frac{s}{{x + s}} = \frac{2}{4} \Leftrightarrow x = s$ .

Όταν το $\displaystyle \Sigma$ ταυτιστεί με το

, ο άνθρωπος θα βρίσκεται στο μέσο της διαδρομής, άρα x = 4. Οπότε $\displaystyle s\left( x \right) = x,\;\;x \in \left[ {0,\;4} \right]$ .

Όταν $\displaystyle x \in \left( {4,8} \right]$ , τότε $\displaystyle s = \Pi {\rm T} + {\rm T}{\rm M}$ , όπου

η σκιά στον τοίχο.

Θεωρούμε ότι το $\displaystyle \Sigma$ βρίσκεται στην προέκταση του

οπότε $\displaystyle \Pi \Sigma = \Pi {\rm A} = x$ , αφού η αναλογία των πλευρών των τριγώνων διατηρείται.

: Skia_1 23-06-2018.png (21.7 KiB) Προβλήθηκε 908 φορές

Από την ομοιότητα των $\displaystyle \Sigma {\rm M}{\rm T},\;\Sigma {\rm K}\Pi$ είναι $\displaystyle \frac{{{\rm M}{\rm T}}}{{\Pi {\rm K}}} = \frac{{{\rm T}\Sigma }}{{\Pi \Sigma }} \Leftrightarrow \frac{{{\rm M}{\rm T}}}{2} = \frac{{2x - 8}}{x} \Leftrightarrow MT = \frac{{4x - 16}}{x}$

Οπότε η σκιά δίνεται από το άθροισμα
$\displaystyle s = \Pi {\rm T} + {\rm T}{\rm M} = \left( {8 - x} \right) + \frac{{4x - 16}}{x} \Leftrightarrow sx = 8x - {x^2} + 4x - 16$

Άρα $\displaystyle s\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 12x - 16}}{x},\;\;x \in \left( {4,8} \right]$ .

Τελικά, είναι $\displaystyle s\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} x,\;\;x \in \left[ {0,4} \right]\\ \frac{{ - {x^2} + 12x - 16}}{x},\;\;x \in \left( {4,8} \right] \end{array} \right.$

Η s(x)

είναι συνεχής στο $\displaystyle \left[ {0,4} \right)$ και στο $\displaystyle \left( {4,8} \right]$ ως ταυτοτική και ρητή συνάρτηση αντίστοιχα.

Είναι $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} s\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} x = 4,\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} s\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{ - {x^2} + 12x - 16}}{x} = 4$ , άρα η s(x)

είναι συνεχής στο $\displaystyle \left[ {0,8} \right]$ .

Είναι $\displaystyle s'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1,\;\;x \in \left( {0,\;4} \right]\\ \frac{{16 - {x^2}}}{{{x^2}}},\;x \in \left( {4,8} \right] \end{array} \right.$

$\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{s\left( x \right) - s\left( 4 \right)}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{x - 4}}{{x - 4}} = 1$ ,

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{s\left( x \right) - s\left( 4 \right)}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{\frac{{ - {x^2} + 12x - 16}}{x} - 4}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{ - {x^2} + 8x - 16}}{{x\left( {x - 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{4 - x}}{x} = 0$ ,

άρα η s(x)

δεν είναι παραγωγίσιμη στο x=4

.

Η μονοτονία και τα ακρότατά της δίνονται στον πίνακα

: 23-06-2018 Skia.jpg (17.44 KiB) Προβλήθηκε 911 φορές

Η μέγιστη τιμή είναι 4 m

όταν ο άνθρωπος βρεθεί στο μέσο της διαδρομής.

Το μήκος της σκιάς

Το μήκος της σκιάς

Re: Το μήκος της σκιάς

Μέλη σε σύνδεση