Θέμα από Gaokao
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1733
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Θέμα από Gaokao
Θεωρούμε τους θετικούς αριθμούς με και τη συνάρτηση .
Α. Υποθέτουμε ότι :
α) Να λυθεί η εξίσωση
β) Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του ώστε για κάθε .
Β. Αν , και η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα , να βρείτε την τιμή του .
Υ.Γ. : Gaokao : ... ας πούμε Πανκινεζικές εξετάσεις ...
Α. Υποθέτουμε ότι :
α) Να λυθεί η εξίσωση
β) Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του ώστε για κάθε .
Β. Αν , και η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα , να βρείτε την τιμή του .
Υ.Γ. : Gaokao : ... ας πούμε Πανκινεζικές εξετάσεις ...
Kαλαθάκης Γιώργης
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Θέμα από Gaokao
Μια λύση με απλή αγνή αλγεβρίτσα για το Α. Για το Β κατά τα γνωστά Fermat.exdx έγραψε: ↑Σάβ Ιουν 23, 2018 2:18 pmΘεωρούμε τους θετικούς αριθμούς με και τη συνάρτηση .
Α. Υποθέτουμε ότι :
α) Να λυθεί η εξίσωση
β) Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του ώστε για κάθε .
Β. Αν , και η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα , να βρείτε την τιμή του .
Υ.Γ. : Gaokao : ... ας πούμε Πανκινεζικές εξετάσεις ...
A(a)
Θα χρειαστούμε την με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν
Έχουμε
A(b)
Έστω για κάθε ή ισοδύναμα
για κάθε ή ισοδύναμα
για κάθε ή ισοδύναμα
για κάθε (η εύκολα ελέγχουμε ότι έχει σύνολο τιμών το .
Το παραπάνω είναι τριώνυμο με ελάχιστη τιμή (εσωτερικό σημείο)
εφόσον ή (άκρο διαστήματος) εφόσον .
Για έχουμε ταύτιση αυτών των δύο. Άρα για να ισχύει η αρχική αρκεί η ελάχιστη τιμή του τριωνύμου
να είναι για κάθε δηλαδή αρκεί
Άρα
B
Η εξίσωση έχει σίγουρα ρίζα την . Έστω ότι υπάρχει ώστε Αν τότε από το
βλέπουμε ότι η εξίσωση θα έχει και άλλη ρίζα.
Όμοια αν από το όριο στο προκύπτει επιπλέον ρίζα. Άρα αναγκαστικά για να έχουμε μοναδική ρίζα την
θα πρέπει το να είναι ελάχιστη τιμή της . Από Fermat τώρα παίρνουμε
-
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1595
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm
Re: Θέμα από Gaokao
...μια αντιμετώπιση...για το Α...
Α. α) Είναι για η και η εξίσωση
β) Είναι και θέλουμε τη μεγαλύτερη τιμή του ώστε
Θεωρώντας την συνάρτηση θέλουμε να ισχύει και επειδή
θα πρέπει αναγκαία και επομένως
αναγκαία η μέγιστη τιμή του είναι και τότε με παραγωγίσιμη
με με και έχουμε τότε
ή
ή και επειδή
με την ισότητα να ισχύει μόνο για το πρόσημο της είναι το όπως το πρόσημο της
δηλαδή είναι άρα
η γνήσια φθίνουσα στο και
άρα η γνήσια αύξουσα στο έτσι παίρνει την ελάχιστη τιμή της στο άρα το είναι δεκτή.
Β. Αφού η είναι ρίζα της εξίσωσης και είναι η μοναδική σύμφωνα με την υπόθεση θα είναι
και αφού η συνεχής
θα έχει σταθερό πρόσημο σε κάθε διάστημα και επειδή
θα είναι
άρα
δηλαδή στο έχει ελάχιστο οπότε λόγω Fermat ισχύει
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες