Με απλά υλικά (26)

#1

Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $\displaystyle f$ .
Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση $\displaystyle |f({x^3} -3 x)| = \frac{3}{2}$ ;

Μάρκος Βασίλης · #2

Αρχικά, παρατηρούμε ότι η εξίσωση $|f(u)|=\frac{3}{2}$ έχει τέσσερις λύσεις, x_1,x_2,x_3,x_4

με:

$\displaystyle{x_1<-2<x_2<0<x_3<2<x_4.}$

Τώρα, για τη συνάρτηση g(x)=x^3-3x

παρατηρούμε ότι g'(x)=3(x^2-1)

επομένως η

παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο

το

και τοπικό μέγιστο στο

το

. Έτσι, παρατηρούμε ότι:

1. $g((-\infty,-1])=(-\infty,2]$
2. g((-1,1])=[-2,2)

3. $g((1,+\infty))=(-2,+\infty)$

Έτσι, η

παίρνει κάθε τιμή στο (-2,2)

ακριβώς τρεις φορές και κάθε τιμή στο $(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$ ακριβώς μία φορά - ενώ τις τιμές 2,-2

τις παίρνει ακριβώς δύο φορές.

Έτσι η

παίρνει τις τιμές x_1,x_4

από μία φορά και τις τιμές x_2,x_3

από τρεις φορές, άρα έχουμε συνολικά 1+1+3+3=8

ρίζες.

Με απλά υλικά (26)

Με απλά υλικά (26)

Re: Με απλά υλικά (26)

Μέλη σε σύνδεση