Απορία στα Ακρότατα

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5550
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: International
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Tolaso J Kos

Απορία στα Ακρότατα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Αύγ 24, 2013 1:59 pm

Χωρίς να είμαι σίγουρος αν είναι ο σωστός φάκελος....

Διαβάζοντας ένα βιβλίο στην ξένη βιβλιογραφία πέτυχα το εξής:
"Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι διαφορίσιμη σε ένα διάστημα (a, b) . Αν f'(x)>0 στο (a, x_0) και f'(x)<0 στο (x_0, b) και η f είναι συνεχής στο x_0 τότε το x_0 είναι τοπικό μέγιστο.

Αντίστοιχος ορισμός και για το τοπικό ελάχιστο.
Μετά δίνει δύο παρατηρήσεις:
1)Δεν είναι υποχρεωτικό να αλλάζει η μονοτονία της συνάρτησης σε θέση τοπικού ακροτάτου.
2)Δεν είναι υποχρεωτικό να αλλάζει η μονοτονία της συνάρτησης σε εσωτερικό σημείο στο οποίο η f παρουσιάζει ακρότατο.

Αυτό που δεν καταλαβαίνω είναι πώς θα πηγαίνει η γραφική παράσταση στη 2η περίπτωση και πώς είναι αυτό δυνατόν;. Εντάξει στην πρώτη ίσως είναι άκρο διαστήματος, όπου δεν έχουμε αλλαγή μονοτονίας, αλλά στην 2η;

Φιλικά,
Τόλης


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 2125
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Απορία στα Ακρότατα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Σάβ Αύγ 24, 2013 2:11 pm

Θεωρεί άραγε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής;


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Κορυφή
kostas_zervos
Δημοσιεύσεις: 1156
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 25, 2010 8:26 am
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Απορία στα Ακρότατα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas_zervos » Σάβ Αύγ 24, 2013 2:13 pm

Tolaso J Kos έγραψε:Χωρίς να είμαι σίγουρος αν είναι ο σωστός φάκελος....

Διαβάζοντας ένα βιβλίο στην ξένη βιβλιογραφία πέτυχα το εξής:
"Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι διαφορίσιμη σε ένα διάστημα (a, b) . Αν f'(x)>0 στο (a, x_0) και f'(x)<0 στο (x_0, b) και η f είναι συνεχής στο x_0 τότε το x_0 είναι τοπικό μέγιστο.

Αντίστοιχος ορισμός και για το τοπικό ελάχιστο.
Μετά δίνει δύο παρατηρήσεις:
1)Δεν είναι υποχρεωτικό να αλλάζει η μονοτονία της συνάρτησης σε θέση τοπικού ακροτάτου.
2)Δεν είναι υποχρεωτικό να αλλάζει η μονοτονία της συνάρτησης σε εσωτερικό σημείο στο οποίο η f παρουσιάζει ακρότατο.

Αυτό που δεν καταλαβαίνω είναι πώς θα πηγαίνει η γραφική παράσταση στη 2η περίπτωση και πώς είναι αυτό δυνατόν;. Εντάξει στην πρώτη ίσως είναι άκρο διαστήματος, όπου δεν έχουμε αλλαγή μονοτονίας, αλλά στην 2η;

Φιλικά,
Τόλης
Πρέπει να μιλάει για μη συνεχείς:

π.χ. f(x)=\begin{cases}e^x\;,\;x<0\\x^2\;,\;x\geq 0\end{cases} έχει τοπικό ελάχιστο (μάλιστα ολικό) στο x_0=0 αφού f(x)\geq f(0)\;,\;\forall x\in\Bbb{R} , αλλά δεν αλλάζει την μονοτονία.

Βέβαια δεν είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R}


Κώστας Ζερβός
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5550
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: International
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Tolaso J Kos

Re: Απορία στα Ακρότατα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Αύγ 24, 2013 2:20 pm

Christos.N έγραψε:Θεωρεί άραγε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής;
Ακριβώς από κάτω σε σχόλιο στο υποσέλιδο του βιβλίου γράφει, ότι υπάρχει συνεχής συνάρτηση η οποία παρουσιάζει (τοπικά) ακρότατα σε εσωτερικά σημεία όμως δεν αλλάζει τη μονοτονία της. Εδώ σπάω το κεφάλι μου.
kostas_zervos έγραψε: Πρέπει να μιλάει για μη συνεχείς:

π.χ. f(x)=\begin{cases}e^x\;,\;x<0\\x^2\;,\;x\geq 0\end{cases} έχει τοπικό ελάχιστο (μάλιστα ολικό) στο x_0=0 αφού f(x)\geq f(0)\;,\;\forall x\in\Bbb{R} , αλλά δεν αλλάζει την μονοτονία.

Βέβαια δεν είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R}
Για τις μη συνεχείς δεν το έχω ψάξει.. ! Θα την κοιτάξω τη συνάρτηση που έδωσε ο κ. Κώστας.

Φιλικά,
Τόλης


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18191
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Απορία στα Ακρότατα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Αύγ 24, 2013 2:21 pm

Tolaso J Kos έγραψε: 2)Δεν είναι υποχρεωτικό να αλλάζει η μονοτονία της συνάρτησης σε εσωτερικό σημείο στο οποίο η f παρουσιάζει ακρότατο.
Κλασικό παράδειγμα η συνεχής \displaystyle{f(x)= x^2 \sin ^2\left( \frac {1}{x} \right) , \, x\ne 0, \, f(0)=0}. Δεν βάζω απόδειξη (υπάρχει άλλωστε σε όλα τα καλά βιβλία Ανάλυσης) για να το σκεφτείς. Πάντως στο ολικό ελάχιστο στη θέση x=0 δεν υπάρχει διάστημα γύρω του που η συνάρτηση να είναι μονότονη: Ανεβοκατεβαίνει άγρια.

Για ασυνεχείς, τα παραδείγματα είναι τετριμμένα. Π.χ. f(x)= 0 στους ρητούς, f(x)=1 στους άρρητους.

Edit: Άλλαξα το παράδειγμα. Το προηγούμενο ήταν ελαττωματικό γιατί είχε κρίσιμο σημείο στο x=0 και όχι ελάχιστο, οπότε χρειαζόταν μικροαλλαγή. Ευχαριστώ τον Νίκο Ζαφειρόπουλο (NIZ) για την επισήμανση.
Συνημμένα
akrotato 2.png
akrotato 2.png (11.09 KiB) Προβλήθηκε 3137 φορές


Κορυφή
Νίκος Ζαφειρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 307
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Νίκος Ζαφειρόπουλος

Re: Απορία στα Ακρότατα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ζαφειρόπουλος » Σάβ Αύγ 24, 2013 5:30 pm

minimum.png
minimum.png (35.4 KiB) Προβλήθηκε 3393 φορές
Ένα ακόμη παράδειγμα .
Η συνάρτηση fείναι συνεχής στο 0, με το f(0)=0 να είναι ελάχιστο , αλλά δεν υπάρχει διάστημα της μορφής (0,a) στο οποίο η f' να παίρνει θετικές τιμές, ούτε διάστημα της μορφής (b,0) στο οποίο η f' να παίρνει αρνητικές τιμές. Με άλλα λόγια δεν υπάρχει διάστημα (b,0) στο οποίο η f να είναι γνησίως φθίνουσα, ούτε διάστημα (0,a) στο οποίο η f να είναι γνησίως αύξουσα. Γι αυτό θέλει προσοχή όταν βλέπουμε τα πράγματα γεωμετρικά. (Κάτι όμως, που παρ' όλους τους κινδύνους του, είναι πολύ χρήσιμο).


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 2125
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Απορία στα Ακρότατα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Σάβ Αύγ 24, 2013 7:41 pm

Άψογο παράδειγμα Νίκο.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 4117
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:
Επικοινωνία cretanman

Re: Απορία στα Ακρότατα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Αύγ 24, 2013 8:04 pm

Από τις ερωτήσεις για την κατανόηση της θεωρίας (η ερώτησή σου ουσιαστικά είναι η ερώτηση 10 του 3ου test στο διαφορικό λογισμό εδώ) που έβαλα το σχολικό έτος 2012-2013 στους μαθητές στο σχολείο μου, πιθανόν να δεις κι άλλα ερωτήματα τα οποία θα σε προβληματίσουν στην ύλη της Γ Λυκείου. Σου προτείνω να τα κοιτάξεις και αν έχεις οποιαδήποτε απορία γράψε μας τη σκέψη σου για να σε βοηθήσουμε...

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5550
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: International
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Tolaso J Kos

Re: Απορία στα Ακρότατα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Αύγ 24, 2013 11:16 pm

Καλησπέρα,
κύριε Αλέξανδρε τα διαγωνίσματα τα συγκεκριμένα τα έχω δει, και μάλιστα τα έχω φωτοτυπήσει για να τα έχω στο αρχείο. Ομολογώ ότι ορισμένες ερωτήσεις με έχουν προβληματίσει αρκετά. Μήπως έχετε και κάτι για Ολοκληρωτικό;

Θα ήθελα να διατυπώσω την εξής απορία.
Διαγώνισμα 2 - Διαφορικός Λογισμός
(v) Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με f'(x)\neq 0 για κάθε x που ανήκει στο (a, b) δεν μπορεί να είναι "1-1". Τι το δίνετε ως Σ ή Λ; Εγώ το δίνω Σωστό. Και το δίνω σωστό διότι κανείς δεν μου εξασφαλίζει την ύπαρξη της συνέχειας της f'. Βεβαία υπάρχουν συγγραφείς που το δίνουν λάθος και το στηρίζουν στο θεώρημα του Rolle.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Κορυφή
Νίκος Ζαφειρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 307
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Νίκος Ζαφειρόπουλος

Re: Απορία στα Ακρότατα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ζαφειρόπουλος » Κυρ Αύγ 25, 2013 12:09 am

Tolaso J Kos έγραψε:Αντίστοιχος ορισμός και για το τοπικό ελάχιστο.
Δεν πρόκειται προφανώς για ορισμό, αλλά για θεώρημα
Tolaso J Kos έγραψε: Μετά δίνει δύο παρατηρήσεις:
Οι παρατηρήσεις αφορούν στο αν η συνθήκη της αλλαγής προσήμου της f' είναι αναγκαία. Και δεν είναι.
Tolaso J Kos έγραψε: Και το δίνω σωστό διότι κανείς δεν μου εξασφαλίζει την ύπαρξη της συνέχειας της f'.
Αν και η τελευταία ερώτηση έχει συγκεκριμένο αποδέκτη, η συνέχεια της f' που χρειάζεται;


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5550
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: International
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Tolaso J Kos

Re: Απορία στα Ακρότατα

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Αύγ 25, 2013 12:13 am

Άμα η f' δεν είναι συνεχής , παρουσιάζει κάποια ασυνέχεια, τότε μπορεί να αλλάζει πρόσημο. Άρα δεν έχουμε "1-1"


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
gian7
Δημοσιεύσεις: 192
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 11, 2011 2:52 pm
Τοποθεσία: Άθηνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία gian7

Re: Απορία στα Ακρότατα

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gian7 » Κυρ Αύγ 25, 2013 12:21 am

Tolaso J Kos έγραψε: ...Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με f'(x)\neq 0 για κάθε x που ανήκει στο (a, b) δεν μπορεί να είναι "1-1". Τι το δίνετε ως Σ ή Λ; Εγώ το δίνω Σωστό. Και το δίνω σωστό διότι κανείς δεν μου εξασφαλίζει την ύπαρξη της συνέχειας της f'. Βεβαία υπάρχουν συγγραφείς που το δίνουν λάθος και το στηρίζουν στο θεώρημα του Rolle.
Ομως μπορει να ειναι συνεχης η \displaystyle{f'} αρα η \displaystyle{f} να ειναι \displaystyle{1-1}.Το "δεν μπορει να είναι "1-1" της εκφωνησης περιλαμβανει και την περιπτωση που η \displaystyle{f'} ειναι συνεχης.
Υ.Γ: συγγνωμη, εχει χαλασει το κουμπι του τονισμου. :evil:


Γιαννης Μπαρουμας

Empty your mind, be formless, shapeless — like water. Now you put water in a cup, it becomes the cup; You put water into a bottle it becomes the bottle; You put it in a teapot it becomes the teapot. Now water can flow or it can crash. Be water, my friend. Bruce Lee
Κορυφή
Νίκος Ζαφειρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 307
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Νίκος Ζαφειρόπουλος

Re: Απορία στα Ακρότατα

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ζαφειρόπουλος » Κυρ Αύγ 25, 2013 12:27 am

Tolaso J Kos έγραψε: (v) Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με f'(x)\neq 0 για κάθε x που ανήκει στο (a, b) δεν μπορεί να είναι "1-1"
Έστω ότι η f δεν είναι "1-1" , τότε ...


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5550
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: International
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Tolaso J Kos

Re: Απορία στα Ακρότατα

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Αύγ 25, 2013 12:33 am

gian7 έγραψε:Όμως μπορεί να είναι συνεχής η \displaystyle{f'} άρα η \displaystyle{f} να είναι \displaystyle{1-1}.Το "δεν μπορεί να είναι "1-1" της εκφώνησης περιλαμβάνει και την περίπτωση που η \displaystyle{f'} είναι συνεχής.
Σωστά, πώς μπορεί κάποιος να μπερδευτεί.
NIZ έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε: (v) Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με f'(x)\neq 0 για κάθε x που ανήκει στο (a, b) δεν μπορεί να είναι "1-1"
Έστω ότι η f δεν είναι "1-1" , τότε ...
Ναι, και πάει με άτοπο από Rolle .


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Κορυφή
ΝΟΥΤΣΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Παρ Δεκ 02, 2011 10:36 pm

Re: Απορία στα Ακρότατα

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΝΟΥΤΣΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ » Τρί Φεβ 23, 2021 10:13 am

Καλημέρα σας, θεωρείτε ότι μια συνάρτηση όπως στο παράδειγμα που έθεσε ο κ. Κώστας Ζερβός θα μπορούσε να τεθεί στις εξετάσεις μιας και δεν είναι συνεχής στο σημείο αλλαγής του τύπου;
Ευχαριστώ!


Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18191
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Απορία στα Ακρότατα

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Φεβ 23, 2021 10:45 am

ΝΟΥΤΣΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 23, 2021 10:13 am
 Καλημέρα σας, θεωρείτε ότι μια συνάρτηση όπως στο παράδειγμα που έθεσε ο κ. Κώστας Ζερβός θα μπορούσε να τεθεί στις εξετάσεις μιας και δεν είναι συνεχής στο σημείο αλλαγής του τύπου;
Ευχαριστώ!
Θα έλεγα ότι θα μπορούσε.

Θα ήταν χρήσιμο να συζητάγαμε στον μάθημα την εν λόγω περίπτωση ασυνεχούς f για να μην μένουν οι μαθητές μας με εσφαλμένη-ελλειπή γνώση των συναρτήσεων. Ας δούν και κάτι καλύτερο. Καλό είναι να μην είμαστε προσκολλημένοι στα ίδια και τα ίδια στην διδασκαλία μας αλλά να έχει πλούτο παραδειγμάτων. Από κει και πέρα, αφού το δουν οι μαθητές μας στον πίνακα, μπορούμε να το ζητήσουμε και στις εξετάσεις μας.


Κορυφή
ΝΟΥΤΣΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Παρ Δεκ 02, 2011 10:36 pm

Re: Απορία στα Ακρότατα

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΝΟΥΤΣΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ » Τρί Φεβ 23, 2021 10:51 am

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 23, 2021 10:45 am
ΝΟΥΤΣΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 23, 2021 10:13 am
 Καλημέρα σας, θεωρείτε ότι μια συνάρτηση όπως στο παράδειγμα που έθεσε ο κ. Κώστας Ζερβός θα μπορούσε να τεθεί στις εξετάσεις μιας και δεν είναι συνεχής στο σημείο αλλαγής του τύπου;
Ευχαριστώ!
Θα έλεγα ότι θα μπορούσε.

Θα ήταν χρήσιμο να συζητάγαμε στον μάθημα την εν λόγω περίπτωση ασυνεχούς f για να μην μένουν οι μαθητές μας με εσφαλμένη-ελλειπή γνώση των συναρτήσεων. Ας δούν και κάτι καλύτερο. Καλό είναι να μην είμαστε προσκολλημένοι στα ίδια και τα ίδια στην διδασκαλία μας αλλά να έχει πλούτο παραδειγμάτων. Από κει και πέρα, αφού το δουν οι μαθητές μας στον πίνακα, μπορούμε να το ζητήσουμε και στις εξετάσεις μας.
Ευχαριστώ για την απάντηση.


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης