Συνευθειακά σημεία καμπής

Tolaso J Kos · #1

Δίδεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \frac{x+1}{x^2+1}}$ . Να δειχθεί ότι έχει τρία σημεία καμπής συνευθειακά.

Άνευ λύσης!!

#2

Tolaso J Kos έγραψε: Τρί Μαρ 23, 2021 11:32 pm Δίδεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \frac{x+1}{x^2+1}}$ . Να δειχθεί ότι έχει τρία σημεία καμπής συνευθειακά.

Άνευ λύσης!!

H άσκηση είναι ρουτίνας!

Υπόδειξη: $\displaystyle{f''(x)= \dfrac {2x^3+6x^2-6x-2}{(x^2+1)^3}= \dfrac {2(x-1)(x^2+4x+1)}{(x^2+1)^3}}$ οπότε η f''

μηδενίζεται για $x=1, \, x= -2\pm \sqrt 3$ .

Από εκεί και πέρα δεν έκανα τις πράξεις να δω αν η άσκηση είναι σωστή, γιατί δεν αξίζει το μελάνι της.

#3

Tolaso J Kos έγραψε: Τρί Μαρ 23, 2021 11:32 pm Δίδεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \frac{x+1}{x^2+1}}$ . Να δειχθεί ότι έχει τρία σημεία καμπής συνευθειακά.

Άνευ λύσης!!

Να και η γραφική επιβεβαίωση:

: Σ.Κ συνευθειακά.png (6.06 KiB) Προβλήθηκε 1238 φορές

Είναι, $\displaystyle A\left( { - 2 - \sqrt 3 ,\frac{{1 - \sqrt 3 }}{4}} \right),B(1,1),C\left( { - 2 + \sqrt 3 ,\frac{{1 + \sqrt 3 }}{4}} \right)$ και $\boxed{{\lambda _{AC}} = {\lambda _{BC}} = \frac{1}{4}}$

που αποδεικνύει το ζητούμενο.

#4

Παρατήρηση: Το ίδιο συμβαίνει για κάθε συνάρτηση $\displaystyle f(x) = \frac{{x + a}}{{{x^2} + {a^2}}}, a\ne 0.$

Έχει τρία σημεία καμπής που ανήκουν στην ίδια ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης $\displaystyle \lambda = \frac{1}{{4{a^2}}}$

Συνευθειακά σημεία καμπής

Συνευθειακά σημεία καμπής

Re: Συνευθειακά σημεία καμπής

Re: Συνευθειακά σημεία καμπής

Re: Συνευθειακά σημεία καμπής

Μέλη σε σύνδεση