Μέγιστο ειδικό εγγεγραμμένο

KARKAR · #1

: Μέγιστο ειδικό εγγεγραμμένο.png (15.03 KiB) Προβλήθηκε 986 φορές

Οι κορυφές B , C , A

, τριγώνου ABC

είναι οι τομές των ευθειών y=-a

και

( η "βόρεια" ) ,

με τον κύκλο (O,4)

. Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν αυτού του τριγώνου . ( Φυσικά : 0<a<4

) .

Tolaso J Kos · #2

Η εξίσωση του κύκλου $\mathcal{C}$ είναι η x^2+y^2=4

.

$\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw (0, 0) circle(4cm); \draw[dashed] (-4.6, -2) -- (4.4, -2); \draw[dashed] (-2, -4) -- (-2, 4); \draw[fill=black] (0, 0) circle(2pt); \draw[line width=1.6pt, cyan] (-3.46, -2) -- (-2, 3.46) -- (3.46, -2) -- cycle; \draw (-2, 3.46) node[above left]{A}; \draw (-3.46, -2) node[below left]{B}; \draw (3.46, -2) node[below right]{\text{\gr Γ}}; \draw (0, 0) node[below]{O}; \end{tikzpicture}}$

Η ευθεία y=-a

τέμνει τον κύκλο στα σημεία $\mathrm{B} \left (-\sqrt{4-a^2} , -a \right)$ και $\Gamma \left (\sqrt{4-a^2} , -a \right )$ . Τέλος, το "βόρειο" σημείο στο οποίο τέμνει η ευθεία x=-a

τον κύκλο είναι το $\mathrm{A} \left (-a , \sqrt{4-a^2} \right )$ . Απλοί υπολογισμοί δείχνουν ότι $\mathrm{AB} = 2 \sqrt{2}$ , $\mathrm{B} \Gamma = 2 \sqrt{4-a^2}$ και $\mathrm{A} \Gamma = 2 \sqrt{a \sqrt{4-a^2}+2}$ . Ο Ήρωνας μας λέει ότι

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{A} &= \frac{1}{4} \sqrt{4 \alpha^2 \beta^2 - \left ( \alpha^2 + \beta^2 - \gamma^2 \right )^2} \\ &= \frac{1}{4} \sqrt{4 \cdot \left ( 2 \sqrt{4-a^2} \right )^2 \cdot \left ( 2 \sqrt{a \sqrt{4-a^2}+2} \right )^2 - \left ( \left ( 2\sqrt{4-a^2} \right )^2 + \left ( 2 \sqrt{a \sqrt{4-a^2}+2} \right )^2 - \left ( 2\sqrt{2} \right )^2 \right )^2} \\ &= \frac{1}{4} \sqrt{4 \cdot 4 \left ( 4-a^2 \right ) \cdot 4 \left ( a \sqrt{4-a^2} + 2 \right ) -32 \left ( 4-a^2 \right ) \left ( a \sqrt{4-a^2}+2 \right ) } \\ &= \sqrt{2} \sqrt{\left ( 4-a^2 \right ) \left ( a \sqrt{4-a^2} + 2 \right )} \end{aligned}}$
το οποίο μεγιστοποιείται όταν $x=\sqrt{2-\sqrt{2}}$ . Η μέγιστη τιμή τότε είναι $2 (1+\sqrt{2} )$ .

Παναγία μου βοήθα... ! Δε λέω η μέγιστη τιμή είναι στρωτή αλλά όχι ο Ήρωνας... !! Καλώ τους γεωμέτρες να βρούνε στρωτή λύση ...

Ουπς: Έλυσα την άσκηση για λάθος κύκλο. Έβαλα την ακτίνα του να είναι . Αφήνω την λύση ως κεντρική ιδέα της λύσης μου.

#3

Έστω $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M$ τα σημεία που οι ευθείες $x = - a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = - a$ τέμνουν του άξονες .

Επίσης

είναι το ύψος του $\vartriangle ABC$ και

το σημείο που η ευθεία

τέμνει την AB.

Τα ορθογώνια τρίγωνα $\vartriangle DOA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle MOB$ έχουν κάθετες πλευρές, OD,OM

ίσες και τις υποτείνουσες άρα είναι ίσα

: Μέγιστο ειδικό εγγεγραμμένο.png (21.83 KiB) Προβλήθηκε 936 φορές

Άμεσες συνέπειες: $\widehat {AOB} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {ACB} = 45^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = 4\sqrt 2$ .

Επειδή $CT \leqslant CS$ το μέγιστο εμβαδόν $\left( {ABC} \right)$ θα το πιάσουμε όταν $T \equiv S$ και

$\boxed{{{\left( {ABC} \right)}_{\max }} = \frac{1}{2}AB \cdot CT = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt 2 \left( {4 + 2\sqrt 2 } \right) = 8\left( {\sqrt {2 }+1 } \right)}$

Προφανώς το τρίγωνο ABC

τότε είναι ισοσκελές με κορυφή το

.

Παρατήρηση :

Η άσκηση είναι Καρδιτσιώτικη μετάλλαξη της περυσινής άσκησης των Πανελληνίων ( η από τις γενικές του διαφορικού λογισμού του σχολικού βιβλίου )

KARKAR · #4

: Μέγιστο ειδικό εγγεγραμμένο.png (18.15 KiB) Προβλήθηκε 908 φορές

Η λύση του Τόλη , από την εύρεση των σημείων και μετά μπορεί να απλοποιηθεί κατά πολύ , χρησιμοποιώντας

τον τύπο με την ορίζουσα , που δίνει : $A(a)=4-a^2+a\sqrt{4-a^2}$ ( βέβαια το

πρέπει να γίνει

) .

Η έξοχη λύση του Νίκου , μπορεί να γίνει πιο οικεία στον μαθητή , ως εξής ( βλέπε το σχήμα ) :

$E(x)=\dfrac{1}{2}\cdot(2\sqrt{16-x^2})\cdot (x+\sqrt{16-x^2})=16-x^2+x\sqrt{16-x^2}$ κ.λ.π.

Νίκο , όχι , δεν μου πέρασε από το μυαλό η συσχέτιση που "είδες"

nickchalkida · #5

Ο γ.τ. του

είναι η ευθεία y=x

. Επειδή το DAC

είναι ορθογώνιο ισοσκελές $A\widehat{C}D = D\widehat{A}C = 45^o$
συνεπάγεται ότι το μήκος του

είναι σταθερό και ίσο με $\sqrt{4^2+4^2} = 4\sqrt{2}$ .
Δηλαδή το (ABC)

μεγιστοποιείται όταν το

μεγιστοποιείται, που συμβαίνει όταν η

συμπέσει
με την διάμετρο

και είναι τότε $\displaystyle MC_{max} = {AB \over \sqrt{2}}+4$ , (το

είναι κορυφή κανονικού 16γώνου). Τότε λοιπόν

$\displaystyle{ (ABC)_{max} = {1\over 2} AB \cdot MC_{max} = {1\over 2} AB \left( {AB \over \sqrt{2}}+4 \right) = 8(\sqrt{2}+1) }$

Μέγιστο ειδικό εγγεγραμμένο

Μέγιστο ειδικό εγγεγραμμένο

Re: Μέγιστο ειδικό εγγεγραμμένο

Re: Μέγιστο ειδικό εγγεγραμμένο

Re: Μέγιστο ειδικό εγγεγραμμένο

Re: Μέγιστο ειδικό εγγεγραμμένο

Μέλη σε σύνδεση