Μονοτονία και εφαπτομένη

#1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f(x) = \sqrt {\frac{a}{x} - 1},$ a>0.

α) Να μελετήσετε την μονοτονία της

β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C_f

στο σημείο M(t, f(t)),

γ) Αν η παραπάνω εφαπτομένη τέμνει τον άξονα x'x

σε ένα σημείο με τετμημένη x_0,

να δείξετε

ότι το x_0

μεγιστοποιείται όταν το

είναι το σημείο καμπής της C_f.

#2

α) Είναι $\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{a}{x}-1},a>0,\,\,\,\,0<x\le a$
Άρα : $\displaystyle {f}'(x)=-\frac{a}{2{{x}^{2}}\sqrt{\frac{a}{x}-1}}<0$ για $\displaystyle 0<x<a$ , άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle (0,a]$
β) Η εφαπτομένη στο $\displaystyle M(t,f(t))$ είναι
$\displaystyle y-\sqrt{\frac{a}{t}-1}=-\frac{a}{2{{t}^{2}}\sqrt{\frac{a}{t}-1}}(x-t)\Leftrightarrow ....\Leftrightarrow y=\frac{3at-ax-2{{t}^{2}}}{2t{{x}^{2}}\sqrt{\frac{a-t}{t}}}\,\,\,\,\,\,(1)$
γ) $\displaystyle {f}''(x)=\frac{a(3a-4x)}{4{{x}^{3}}\left( \sqrt{\frac{a}{x}-1} \right)(a-x)}$ , οπότε $\displaystyle {f}''(x)\ge 0\Leftrightarrow x\le \frac{3a}{4}$ .
Άρα η συνάρτηση είναι κυρτή στο $\displaystyle (0,\left. \frac{3a}{4} \right]$ και κοίλη στο $\displaystyle \left[ \frac{3a}{4},a \right]$
Άρα παρουσιάζει καμπή για $\displaystyle x=\frac{3a}{4}$
Από την (1) για $\displaystyle y=0\Rightarrow 3at-ax-2{{t}^{2}}=0\Leftrightarrow x=\frac{3at-2{{t}^{2}}}{a}$
Η συνάρτηση $\displaystyle g(x)=\frac{3ax-2{{x}^{2}}}{a}$ παρουσιάζει μέγιστο για $\displaystyle x=\frac{3a}{4}$
Άρα το μέγιστο συμβαίνει όταν η ευθεία εφάπτεται στο σημείο καμπής

ma128 · #3

a)Το πεδρίο ορισμού της

είναι:

.

Η

είναι παραγωγίσιμη στο (0,a)

με : ${f}'(x)=\frac{-a}{2x^2\sqrt{\frac{a}{x}-1}}$

Παρατηρώ ότι: ${f}'(x)<0, \forall x \in (0,a)$ .

Επομένως η

είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,a)

Και επειδή: $f(a)=0<f(x) \forall x \in (0,a)$ . Έπεται οτι η

είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,a]

.

b) Η εξίσωση εφταπτομένης της C_f

στο

είναι:

$y={f}'(t)(x-t)+f(t) \Leftrightarrow y=\frac{-ax}{2t^2\sqrt{\frac{a}{t}-1}}+\frac{a}{2t\sqrt{\frac{a}{t}-1}}+\sqrt{\frac{a}{t}-1}$

c)H ευθεία

διέρχεται απο το σημείο (x_0,0)

.Επομένως προκύπτει:

$x_0(t)=3t-\frac{2t^2}{a}$

Παρατηρώ ότι:

$x_0(t)>0 \forall t \in (0,3a/4)$ . Έπεται: x_0

γνησίως αύξουσα στο (0,3a/4)

$x_0(t)<0 \forall t \in (3a/4,a)$ . Έπεται: x_0

γνησίως φθίνουσα στο (3a/4,a)

. Έπεται: το x_0

είναι μέγιστο για t=3a/4

Η

είναι παραγωγίσιμη στο (0,a)

με:

${f}''(x)=\frac{a(3a-4x)}{4x^3(a-x)\sqrt{\frac{a}{x}-1}}$

Παρατηρώ ότι:

{f}''(3a/4)=0

και η

αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του 3a/4

.

Επομένως, για x=3a/4

, η

παρουσιάζει σημείο καμπής.

Άρα, πράγματι το x_0

μεγιστοποιείται οταν το M(t,f(t))

είναι σημείο καμπής της C_f

Μονοτονία και εφαπτομένη

Μονοτονία και εφαπτομένη

Re: Μονοτονία και εφαπτομένη

Re: Μονοτονία και εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση