Κυρτότητα

Nikos2022 · #1

Καλησπέρα! έχω μια απορία στην κυρτότητα, καθώς προβληματίστηκα σχετικά με τη λύση μιας άσκησης όπως σας δείχνω παρακάτω:
Έστω $f :\mathbb{R}\rightarrow (0, +\infty )$ με $f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2}+1, x<0 \\ 1, x=0 \\ x^{x}, x>0 \end{matrix}\right.$ .
Ερώτημα : να βρείτε την δεύτερη παράγωγο της f και να δείξετε ότι είναι κυρτή στο $\mathbb{R}$ .
Το πρόβλημα είναι το εξής : σύμφωνα με τον ορισμό του σχολικού μια συνάρτηση είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ εφόσον είναι συνεχής σ' αυτό, παραγωγίσιμη στο εσωτερικο του και η παραγωγος της f είναι γνησίως αύξουσα. Εδώ όπως θα δείτε στην πορεία της άσκησης η συνάρτηση είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0. Συνεπώς δεν είναι παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του αλλά στο $\mathbb{R}^{*}$ σωστά ; Στις λύσεις συνεχίζει βρίσκοντας πρώτη παράγωγο για x<0

και

και επειτα βρίσκοντας και την δεύτερη προκύπτει πως είναι θετική στο $\mathbb{R}^{*}$ . Πως λοιπόν βγάζει συμπερασμα για τη κυρτότητα στο $\mathbb{R}$ όπως κάνει στη συνέχεια;
Εγώ είπα πως είναι συνεχής στα $(-\infty,0]$ , $[0,+\infty)$ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό αυτών οπότε είναι κυρτή στο καθένα απ' αυτά μη γνωρίζοντας για την ένωση.
Διορθώστε με αν κάπου έχω κάνει λάθος.
Ευχαριστώ προκαταβολικά.
Νίκος- Μαθητής Γ' λυκείου

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Πολύ καλά τα λες. Η συνέχεια και μόνο δεν είναι αρκετή για να την χαρακτηρίσουμε κυρτή στο $\mathbb{R}$ . Άλλο ένα πιο εμφανές και απλό παράδειγμα είναι η συνάρτηση $f(x)=-|\sin x|.$ Σχεδίασε την και θα το καταλάβεις. Πες μας και σε ποιο βιβλίο το είδες;

Nikos2022 · #3

Η λύση αυτή υπήρχε σε διαγώνισμα φροντιστηριου

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #4

Nikos2022 έγραψε: Τετ Μαρ 30, 2022 9:11 am Η λύση αυτή υπήρχε σε διαγώνισμα φροντιστηριου

Στην ύλη , ως προς την κυρτότητα, περιλαμβάνονται ασκήσεις που αναφέρονται σε συναρτήσεις που είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους.

Κυρτότητα

Κυρτότητα

Re: Κυρτότητα

Re: Κυρτότητα

Re: Κυρτότητα

Μέλη σε σύνδεση