πλήθος ακροτάτων

#1

Η πολυωνυμική συνάρτηση $\displaystyle f$ έχει απλές ρίζες τα $\displaystyle 0,3$ και διπλή το $\displaystyle 1$ και μόνον αυτές.
Πόσες θέσεις τοπικών ακροτάτων έχει η συνάρτηση $\displaystyle {{\left( f(x) \right)}^{2}}$ ;

#2

$\displaystyle{f'(x)=(2x-3)(x-1)^2+2(x^2-3x)(x-1)=(x-1)[(2x-3)(x-1)+2(x^2-3x)]=(x-1)(4x^2-11x+3)}$
(f^2(x))'=2f(x)f'(x)=2x(x-3)(x-1)^3(4x^2-11x+3)

Το τριώνυμο 4x^2-11x+3

έχει δύο διαφορετικές ρίζες, έστω a<b.

Οπότε το

έχει ρίζες τα $0, \ 1, \ 3, \ a, \ b$ , διαφορετικές ανά δύο με πολλαπλότητα 1 εκτός του 1 που έχει πολλαπλότητα 3.
Άρα έχουμε 5 θέσεις ακροτάτων.

abgd · #3

Σύμφωνα με την εκφώνηση....

exdx έγραψε: Κυρ Σεπ 27, 2020 7:44 pm Η πολυωνυμική συνάρτηση $\displaystyle f$ έχει απλές ρίζες τα $\displaystyle 0,3$ και διπλή το $\displaystyle 1$ και μόνον αυτές.
Πόσες θέσεις τοπικών ακροτάτων έχει η συνάρτηση $\displaystyle {{\left( f(x) \right)}^{2}}$ ;

η πολυωνυμική συνάρτηση

είναι η $\displaystyle{f(x)=x(x-3)(x-1)^2 \cdot p(x), \ \ p(x)\ne 0, \forall x \in \mathbb{R}}$ και συνεπώς η απάντηση...

socrates έγραψε: Σάβ Οκτ 01, 2022 10:04 pm
$\displaystyle{f'(x)=(2x-3)(x-1)^2+2(x^2-3x)(x-1)=(x-1)[(2x-3)(x-1)+2(x^2-3x)]=(x-1)(4x^2-11x+3)}$

Το τριώνυμο έχει δύο διαφορετικές ρίζες, έστω
Οπότε το έχει ρίζες τα $0, \ 1, \ 3, \ a, \ b$ , διαφορετικές ανά δύο με πολλαπλότητα 1 εκτός του 1 που έχει πολλαπλότητα 3.
Άρα έχουμε 5 θέσεις ακροτάτων.

αποδεικνύει την περίπτωση στην οποία $\displystyle {p(x)=1}$ .

sai · #4

abgd έγραψε: Τετ Οκτ 05, 2022 8:37 pm Σύμφωνα με την εκφώνηση....
exdx έγραψε: Κυρ Σεπ 27, 2020 7:44 pm Η πολυωνυμική συνάρτηση $\displaystyle f$ έχει απλές ρίζες τα $\displaystyle 0,3$ και διπλή το $\displaystyle 1$ και μόνον αυτές.
Πόσες θέσεις τοπικών ακροτάτων έχει η συνάρτηση $\displaystyle {{\left( f(x) \right)}^{2}}$ ;
η πολυωνυμική συνάρτηση είναι η $\displaystyle{f(x)=x(x-3)(x-1)^2 \cdot p(x), \ \ p(x)\ne 0, \forall x \in \mathbb{R}}$ και συνεπώς η απάντηση...

socrates έγραψε: Σάβ Οκτ 01, 2022 10:04 pm
$\displaystyle{f'(x)=(2x-3)(x-1)^2+2(x^2-3x)(x-1)=(x-1)[(2x-3)(x-1)+2(x^2-3x)]=(x-1)(4x^2-11x+3)}$

Το τριώνυμο έχει δύο διαφορετικές ρίζες, έστω
Οπότε το έχει ρίζες τα $0, \ 1, \ 3, \ a, \ b$ , διαφορετικές ανά δύο με πολλαπλότητα 1 εκτός του 1 που έχει πολλαπλότητα 3.
Άρα έχουμε 5 θέσεις ακροτάτων.
αποδεικνύει την περίπτωση στην οποία $\displystyle {p(x)=1}$ .

Δεν είμαι τοσο σίγουρος. Στην εκφώνηση λέει πως η

έχει ρίζεις μόνο τις 0, 3, 1

. Αν ήταν

με $\deg p \geq 1$ , απο το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας η

θα είχε παραπάνω ρίζες (μπορεί στο $\mathbb{C}$ , αλλά η εκφώνηση λέει ρίζες, οχι απαραίτητα πραγματικές ρίζες). Συνεπώς μένει να ελεγχθούν οι περιπτώσεις όπου f(x) = ax(x-3)(x-1)^2

.

#5

sai έγραψε: Κυρ Δεκ 18, 2022 11:26 pm
abgd έγραψε: Τετ Οκτ 05, 2022 8:37 pm Σύμφωνα με την εκφώνηση....
exdx έγραψε: Κυρ Σεπ 27, 2020 7:44 pm Η πολυωνυμική συνάρτηση $\displaystyle f$ έχει απλές ρίζες τα $\displaystyle 0,3$ και διπλή το $\displaystyle 1$ και μόνον αυτές.
Πόσες θέσεις τοπικών ακροτάτων έχει η συνάρτηση $\displaystyle {{\left( f(x) \right)}^{2}}$ ;
η πολυωνυμική συνάρτηση είναι η $\displaystyle{f(x)=x(x-3)(x-1)^2 \cdot p(x), \ \ p(x)\ne 0, \forall x \in \mathbb{R}}$ και συνεπώς η απάντηση...

socrates έγραψε: Σάβ Οκτ 01, 2022 10:04 pm
$\displaystyle{f'(x)=(2x-3)(x-1)^2+2(x^2-3x)(x-1)=(x-1)[(2x-3)(x-1)+2(x^2-3x)]=(x-1)(4x^2-11x+3)}$

Το τριώνυμο έχει δύο διαφορετικές ρίζες, έστω
Οπότε το έχει ρίζες τα $0, \ 1, \ 3, \ a, \ b$ , διαφορετικές ανά δύο με πολλαπλότητα 1 εκτός του 1 που έχει πολλαπλότητα 3.
Άρα έχουμε 5 θέσεις ακροτάτων.
αποδεικνύει την περίπτωση στην οποία $\displystyle {p(x)=1}$ .
Δεν είμαι τοσο σίγουρος. Στην εκφώνηση λέει πως η έχει ρίζεις μόνο τις . Αν ήταν με $\deg p \geq 1$ , απο το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας η θα είχε παραπάνω ρίζες (μπορεί στο $\mathbb{C}$ , αλλά η εκφώνηση λέει ρίζες, οχι απαραίτητα πραγματικές ρίζες). Συνεπώς μένει να ελεγχθούν οι περιπτώσεις όπου .

Σ' αυτήν την τελευταία περίπτωση το

δεν είναι διπλή ρίζα, άρα δεν χρειάζεται να εξεταστεί. Συμφωνώ ότι δεν χρειάζεται να θεωρήσουμε την p(x)

. Νομίζω ότι η εκφώνηση του exdx είναι σαφέστατη και η λύση του socrates πληρέστατη!

#6

exdx έγραψε: Κυρ Σεπ 27, 2020 7:44 pm Η πολυωνυμική συνάρτηση $\displaystyle f$ έχει απλές ρίζες τα $\displaystyle 0,3$ και διπλή το $\displaystyle 1$ και μόνον αυτές.
Πόσες θέσεις τοπικών ακροτάτων έχει η συνάρτηση $\displaystyle {{\left( f(x) \right)}^{2}}$ ;

Καλησπέρα

μιά άλλη άποψη και χάριν πλουραλισμού..

Σύμφωνα με τα δεδομένα είναι $f(x)=x(x-3){{(x-1)}^{2}}\pi (x)$ με $\pi (x)\ne 0$ και τότε

${{f}^{2}}(x)={{x}^{2}}{{(x-3)}^{2}}{{(x-1)}^{4}}{{\pi }^{2}}(x),\,\,x\in R$ και προφανώς τα 0,1,3

είναι θέσεις ολικών ελαχίστων αφού

${{f}^{2}}(x)\ge f(0)=f(1)=f(3)=0$ για κάθε $x\in R$

Τώρα στα διαστήματα $[0,\,1],\,\,[1,3]$ από θεώρημα μεγίστης και ελάχιστης τιμής το ελάχιστο εμφανίζεται στα άκρα των διαστημάτων

θα υπάρχουν ${{x}_{1}}\in [0,\,1],\,\,\,{{x}_{2}}\in \,[1,3]$ θέσεις τοπικών μεγίστων για την ${{f}^{2}}$ στα $[0,\,1],\,\,\,[1,3]$

που προφανώς είναι και θέσεις ακροτάτων για την ${{f}^{2}}$ στο

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#7

exdx έγραψε: Κυρ Σεπ 27, 2020 7:44 pm Η πολυωνυμική συνάρτηση $\displaystyle f$ έχει απλές ρίζες τα $\displaystyle 0,3$ και διπλή το $\displaystyle 1$ και μόνον αυτές.
Πόσες θέσεις τοπικών ακροτάτων έχει η συνάρτηση $\displaystyle {{\left( f(x) \right)}^{2}}$ ;

socrates έγραψε: Σάβ Οκτ 01, 2022 10:04 pm
$\displaystyle{f'(x)=(2x-3)(x-1)^2+2(x^2-3x)(x-1)=(x-1)[(2x-3)(x-1)+2(x^2-3x)]=(x-1)(4x^2-11x+3)}$

Το τριώνυμο έχει δύο διαφορετικές ρίζες, έστω
Οπότε το έχει ρίζες τα $0, \ 1, \ 3, \ a, \ b$ , διαφορετικές ανά δύο με πολλαπλότητα 1 εκτός του 1 που έχει πολλαπλότητα 3.
Άρα έχουμε 5 θέσεις ακροτάτων.

Καλημέρα...

Για "του λόγου το αληθές" παραθέτω και το γράφημα της ιστορίας αυτής:

: Πλήθος ακροτάτων 1.png (29.95 KiB) Προβλήθηκε 1541 φορές

Κι ένα μικρό ερώτημα:

Γιατί στο πλήθος των σημείων τομής των δύο αυτών γραφημάτων υπάρχουν δύο που ισαπέχουν

από τον άξονα των $\displaystyle{x'x}$ .

Κώστας Δόρτσιος

#8

KDORTSI έγραψε: Δευ Δεκ 19, 2022 2:23 am
exdx έγραψε: Κυρ Σεπ 27, 2020 7:44 pm Η πολυωνυμική συνάρτηση $\displaystyle f$ έχει απλές ρίζες τα $\displaystyle 0,3$ και διπλή το $\displaystyle 1$ και μόνον αυτές.
Πόσες θέσεις τοπικών ακροτάτων έχει η συνάρτηση $\displaystyle {{\left( f(x) \right)}^{2}}$ ;

socrates έγραψε: Σάβ Οκτ 01, 2022 10:04 pm
$\displaystyle{f'(x)=(2x-3)(x-1)^2+2(x^2-3x)(x-1)=(x-1)[(2x-3)(x-1)+2(x^2-3x)]=(x-1)(4x^2-11x+3)}$

Το τριώνυμο έχει δύο διαφορετικές ρίζες, έστω
Οπότε το έχει ρίζες τα $0, \ 1, \ 3, \ a, \ b$ , διαφορετικές ανά δύο με πολλαπλότητα 1 εκτός του 1 που έχει πολλαπλότητα 3.
Άρα έχουμε 5 θέσεις ακροτάτων.
Καλημέρα...

Για "του λόγου το αληθές" παραθέτω και το γράφημα της ιστορίας αυτής:

Πλήθος ακροτάτων 1.png

Κι ένα μικρό ερώτημα:

Γιατί στο πλήθος των σημείων τομής των δύο αυτών γραφημάτων υπάρχουν δύο που ισαπέχουν

από τον άξονα των $\displaystyle{x'x}$ .

Κώστας Δόρτσιος

Επειδή $f(x)^2=f(x)\rightarrow f(x)=1 \vee f(x)=0 \rightarrow f(x)=1 \vee x=0 \vee x=1 \vee x=3$

πλήθος ακροτάτων

πλήθος ακροτάτων

Re: πλήθος ακροτάτων

Re: πλήθος ακροτάτων

Re: πλήθος ακροτάτων

Re: πλήθος ακροτάτων

Re: πλήθος ακροτάτων

Re: πλήθος ακροτάτων

Re: πλήθος ακροτάτων

Μέλη σε σύνδεση