Υπάρξη ξ,η

Tolaso J Kos · #1

Έστω

συνεχής στο [0,1]

και διαφορίσιμη στο (0, 1)

. Αν

, $f(1) = \frac{1}{2}$ . Να δειχθεί ότι υπάρχουν $\xi,\eta \in (0,1)$ τέτοια ώστε

$\displaystyle{f'(\xi) + f'(\eta) = \xi + \eta}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Απρ 26, 2023 3:21 pm
Έστω συνεχής στο και διαφορίσιμη στο . Αν , $f(1) = \frac{1}{2}$ . Να δειχθεί ότι υπάρχουν $\xi,\eta \in (0,1)$ τέτοια ώστε

$\displaystyle{f'(\xi) + f'(\eta) = \xi + \eta}$

H $g(x) = f(x) - \dfrac {x^2}{2}$ ικανοποιεί g(0) = g(1)=0

. Από Rolle υπάρξει $\xi \in (0,\,1)$ με $g'(\xi) = 0$ , ισοδύναμα $f'(\xi ) = \xi$ . Τέλος, παίρνουμε $\eta = \xi$ .

Τόλη, αυτό ζητάς ή μήπως απαιτείς και $\xi \ne \eta$ ;

Tolaso J Kos · #3

Μιχάλη ξέχασα να το σημειώσω $\xi \neq \eta$ .

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Απρ 26, 2023 3:41 pm
Τόλη, αυτό ζητάς ή μήπως απαιτείς και $\xi \ne \eta$ ;

Ορίζω την

όπως ο κ. Λάμπρου. Τότε, από το ΘΜΤ υπάρχει $\xi\in (0,1/2)$
ώστε $\displaystyle{\frac{g(1/2)-g(0)}{1/2-0}=g'(\xi)=f'(\xi)-\xi.}$
Με όμοιο τρόπο, υπάρχει $\eta\in (1/2,1)$ ώστε
$\displaystyle{\frac{g(1)-g(1/2)}{1-1/2}=g'(\eta)=f'(\eta)-\eta.}$
Αυτά είναι και τα ζητούμενα, αφού αφενός ισχύει ότι $0<\xi<1/2<\eta<1$ και από την άλλη
$\displaystyle{ f'(\xi)+f'(\eta)-(\xi+\eta)=g'(\xi)+g'(\eta)=\frac{g(1/2)}{1/2}-\frac{g(1/2)}{1/2}=0. }$

Υπάρξη ξ,η

Υπάρξη ξ,η

Re: Υπάρξη ξ,η

Re: Υπάρξη ξ,η

Re: Υπάρξη ξ,η

Μέλη σε σύνδεση