Σημείο μεγιστοποίησης

KARKAR · #1

: Σημείο μεγιστοποίησης.png (8.8 KiB) Προβλήθηκε 960 φορές

Βρείτε την θέση του

στο ημικύκλιο διαμέτρου

, για την οποία μεγιστοποιείται η γωνία $\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Αύγ 06, 2023 5:15 pm Σημείο μεγιστοποίησης.pngΒρείτε την θέση του στο ημικύκλιο διαμέτρου , για την οποία μεγιστοποιείται η γωνία $\theta$ .

Αρκεί να εντοπίσω το σημείο

που είναι η προβολή του

στη διάμετρο. Θέτω PD=x.

$\displaystyle SD = \sqrt {AD \cdot DB} = \sqrt {(1 + x)(7 - x)}$

: Σημείο μεγιστοποίησης.png (11.99 KiB) Προβλήθηκε 943 φορές

$\displaystyle \tan \theta = \tan (\varphi + \omega ) = \frac{{\frac{x}{{SD}} + \frac{{5 - x}}{{SD}}}}{{1 - \frac{{x(5 - x)}}{{S{D^2}}}}} \Leftrightarrow f(x) = \tan \theta = \frac{{5\sqrt {(1 + x)(7 - x)} }}{{x + 7}},0 < x < 7$

$\displaystyle f'(x) = \frac{{10(7 - 5x)}}{{{{(x + 7)}^2}\sqrt { - {x^2} + 6x + 7} }}.$ Η γωνία $\theta$ μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιείται και η

δηλαδή

όταν $\boxed{x=\dfrac{7}{5}}$ Τότε, $\boxed{\tan \theta = \frac{{10}}{{\sqrt {21} }}}$

#3

KARKAR έγραψε: Κυρ Αύγ 06, 2023 5:15 pm Σημείο μεγιστοποίησης.pngΒρείτε την θέση του στο ημικύκλιο διαμέτρου , για την οποία μεγιστοποιείται η γωνία $\theta$ .

: Σημείο μεγιστοποίησης_Ανάλυση_ok.png (25.72 KiB) Προβλήθηκε 894 φορές

Έστω λυμένο το πρόβλημα . Γράφω τον κύκλο $\left( {S,P,Q} \right)$ που τέμνει εν γένει το ημικύκλιο στο

.

Ας είναι

το κέντρο του πιο πάνω κύκλου $\left( {S,P,Q} \right)$ .

$\widehat {S_{}^{}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {F_{}^{}}$ είναι ίσες με το μισό της $\widehat {PKQ}$ που γίνεται μέγιστη όταν το απόστημα

γίνει ελάχιστο .

Άμεση συνέπεια : $S \equiv F$ και ο κύκλος εφάπτεται του ημικυκλίου . (Γνωστό πρόβλημα Απολλώνιου)

Κατασκευή
.

: Σημείο μεγιστοποίησης_Κατασκευή.png (38.44 KiB) Προβλήθηκε 894 φορές

.
Γράφω τυχαίο κύκλο κέντρου

που διέρχεται από τα $P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Q$ . Η κοινή χορδή αυτού με το ημικύκλιο τέμνει την ευθεία

στο

.

Η πολική του

ως προς το ημικύκλιο το τέμνει στο σημείο

που θέλω.

Υπολογισμοί :

Θέτω $JA = x\,$ κι αν η πολική τέμνει την

στο

, ας είναι AT = y

. Θα ισχύουν:

$\left\{ \begin{gathered} J{S^2} = JP \cdot JQ = JA \cdot JB \hfill \\ \frac{{AT}}{{TB}} = \frac{{JA}}{{JB}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} J{S^2} = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 6} \right) = x\left( {x + 8} \right) \hfill \\ \frac{y}{{8 - y}} = \frac{x}{{x + 8}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 6 \hfill \\ y = \frac{{12}}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Σημείο μεγιστοποίησης

Σημείο μεγιστοποίησης

Re: Σημείο μεγιστοποίησης

Re: Σημείο μεγιστοποίησης

Μέλη σε σύνδεση