Κλαδική με πλευρικά όρια και αριθμό ριζών

Al.Koutsouridis · #1

Για δυο μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς a,b

η συνάρτηση f(x)

ορίζεται ως

$\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 2x^3-6x+1 \quad \quad \quad \quad (x \leq 2) \\ a(x-2)(x-b)+9 \quad (x>2) \end{matrix}\right.}$ .

Για έναν πραγματικό αριθμό

ας είναι

ο αριθμός των σημείων στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x)

τέμνει την ευθεία y=t

. Ποιά είναι η μέγιστη τιμή του αθροίσματος a+b

, όπου

ένα διατεταγμένο ζεύγος μη μηδενικών φυσικών αριθμών a,b

τέτοιο, ώστε το πλήθος των πραγματικών αριθμών

, που ικανοποιούν την σχέση

$\displaystyle{g(k)+\lim_{t \to k^{-}} g(t) +\lim_{t \to k^{+}} g(t)=9}$ , να είναι

;

abgd · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 25, 2023 8:53 pm
Για δυο μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς η συνάρτηση ορίζεται ως

$\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 2x^3-6x+1 \quad \quad \quad \quad (x \leq 2) \\ a(x-2)(x-b)+9 \quad (x>2) \end{matrix}\right.}$ .

Για έναν πραγματικό αριθμό ας είναι ο αριθμός των σημείων στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει την ευθεία . Ποιά είναι η μέγιστη τιμή του αθροίσματος , όπου ένα διατεταγμένο ζεύγος μη μηδενικών φυσικών αριθμών τέτοιο, ώστε το πλήθος των πραγματικών αριθμών , που ικανοποιούν την σχέση

$\displaystyle{\boxed{g(k)+\lim_{t \to k^{-}} g(t) +\lim_{t \to k^{+}} g(t)=9}\ \ \bf(1)}$ , να είναι ;

Σχεδιάζοντας γραφικά τα δύο τμήματα της συνάρτησης και λαμβάνοντας υπόψιν ότι η κορυφή της παραβολής $\displaystyle{y=a(x-2)(x-b)+9}$

είναι το σημείο $\displaystyle{K\left(\frac{b+2}{2},m \right)}$ , με $\displaystyle{m=9-\frac{a}{4}(b-2)^2}$ , έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

Αν $\displaystyle{m>-3}$ τότε η $\displaystyle{\bf(1)}$ ισχύει για κάθε $\displaystyle{k \in (-3,m)}$ , (ή στο $\displaystyle{(-3,5)}$ αν $\displaystyle{m\geq 5}$ ).

: 1.png (29.42 KiB) Προβλήθηκε 1990 φορές

Αν $\displaystyle{m<-3}$ τότε η $\displaystyle{\bf(1)}$ ισχύει για κάθε $\displaystyle{k \in (m,-3)}$

: 2.png (31.36 KiB) Προβλήθηκε 1990 φορές

Αν $\displaystyle{m=-3}$ τότε η $\displaystyle{\bf(1)}$ ισχύει μόνο όταν $\displaystyle{k=-3}$

: 3.png (28.76 KiB) Προβλήθηκε 1990 φορές

Έτσι, η $\displaystyle{\bf(1)}$ ισχύει μόνο για μία τιμή του $\displaystyle{k}$ όταν $\displaystyle{9-\frac{a}{4}(b-2)^2=-3 \Leftrightarrow \boxed{a(b-2)^2=48}}$

Συνεπώς $\displaystyle{(a,b)=(3,6)}$ ή $\displaystyle{(a,b)=(12,4)}$ ή $\displaystyle{\boxed{(a,b)=(48,3)}}$ και

$\displaystyle{max\{a+b\}=51}$

Al.Koutsouridis · #3

Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον abgd για την παρούσα λύση, αλλά και στα υπόλοιπα θέματα των κορεατικών εισαγωγικών εξετάσεων, που έλυσε πρόσφατα. Πιστεύω θα τα βρουν χρήσιμα και οι μαθητές της Γ' Λυκείου για εμπέδοση της ύλης τους.

Κλαδική με πλευρικά όρια και αριθμό ριζών

Κλαδική με πλευρικά όρια και αριθμό ριζών

Re: Κλαδική με πλευρικά όρια και αριθμό ριζών

Re: Κλαδική με πλευρικά όρια και αριθμό ριζών

Μέλη σε σύνδεση