Όριο

#1

Βρείτε τα $\displaystyle a,b\in R$ , ώστε $\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x-(a{{x}^{3}}+bx)}{{{x}^{3}}}=1$

Από εξετάσεις στην Ιταλία
Edit : Διορθώθηκε ουσιώδες τυπογραφικό. (Βλέπε επόμενη δημοσίευση)

#2

exdx έγραψε: Δευ Φεβ 19, 2024 1:05 pm Βρείτε τα $\displaystyle a,b\in R$ , ώστε $\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x-(a{{x}^{3}}+b)}{{{x}^{3}}}=1$

Από εξετάσεις στην Ιταλία

Από ότι βλέπω δεν υπάρχουν τιμές των a,b

που να συγκλίνει το αριστερό μέλος. Αν όμως θεωρήσουμε ότι υπάρχει τυπογραφικό σφάλμα και αντί για

έχει

, τότε είναι εντάξει. Θα βρούμε $a=- 7/6, \, b=1$ . Το αφήνω για την ώρα μέχρι να μας πει ο Γιώργος αν έχω δίκιο για το σχόλιό μου περί τυπογραφικού.

#3

exdx έγραψε: Δευ Φεβ 19, 2024 1:05 pm Βρείτε τα $\displaystyle a,b\in R$ , ώστε $\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x-(a{{x}^{3}}+bx)}{{{x}^{3}}}=1$

Από εξετάσεις στην Ιταλία
Edit : Διορθώθηκε ουσιώδες τυπογραφικό. (Βλέπε επόμενη δημοσίευση)

Με την διόρθωση του τυπογραφικού, έχουμε

$\displaystyle{ \frac{\sin x-(a{{x}^{3}}+bx)}{{{x}}} = \frac{\sin x-(a{{x}^{3}}+bx)}{{{x}^{3}}}\times x^2 \to 1\times 0 =0}$ ,

Άρα

$\displaystyle{ \dfrac {\sin x}{x} - ax^2 -b \to 0}$ . Αλλά το όριο (στο

) του αριστερού μέλους είναι 1-0-b

. Από την μοναδικότητα του ορίου είναι 1-b=0

, δηλαδή

. Πίσω στην αρχική

$\displaystyle{\dfrac{\sin x-a{{x}^{3}}-x}{x^3} \to 1}$ , που με δύο φορές l' Hospital δίνει

$\displaystyle{\dfrac{-\sin x-6ax}{6x} \to 1}$ . Αλλά το αριστερό μέλος έχει όριο $- \dfrac {1}{6} -a$ . Άρα

$- \dfrac {1}{6} -a =1$ , από όπου $a=- \dfrac {7}{6}$

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση