Τρίγωνο σε έλλειψη

Tolaso J Kos · #1

Να εγγράψετε σε δοθείσα έλλειψη $\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2}=1$ όπου $\alpha, \beta>0$ τρίγωνο με το μέγιστο εμβαδόν.

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά.

Tolaso J Kos · #3

Επαναφορά. Το αποτέλεσμα που έχω είναι $\displaystyle{\frac{3 \sqrt{3}}{4} \alpha \beta}$ . Δυστυχώς έχασα τη λύση.

Edit: Ίσως αυτή η ανάρτηση να βοηθάει.

#4

Χωρίς λογισμό:

Ας είναι $\displaystyle{\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1}$ η έλλειψη και ας είναι $\displaystyle{K(A\sin a, B\cos a), L(A\sin b, B\cos b), M(A\sin c, B\cos c)}$ τρία σημεία αυτής.

Από τη γνωστή σχέση $\displaystyle{(KLM)=\frac{1}{2} |\left|\displaystyle {\begin{array}{*{20}{c}} x_K&y_K&1\\ x_L&y_L&1\\ x_M&y_M&1 \end{array}} \right | |}$

βρίσκουμε μετά τις πράξεις

$\displaystyle{(KLM)=\frac{AB}{2}\left|\sin (a-b)+\sin (b-c)+\sin (c-a)\right|}$ .

Όμως είναι γνωστό (

) ότι αν $\displaystyle{x+y+z=0,}$ τότε $\displaystyle{\max (\sin x+\sin y+\sin z)=\frac{3\sqrt{3}}{2}.}$

Όποτε $\displaystyle{(KLM)_{\max}=\frac{3\sqrt{3}}{4}AB.}$

#5

Με χρήση Λογισμού ... μία 'κατασκευαστική' απόδειξη που μας δίνει τα μέγιστα εγγεγραμμένα τρίγωνα:

Έστω ABC

τρίγωνο μεγίστου εμβαδού εγγεγραμμένο στην έλλειψη $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ με A=(x_0,y_0), B=(x_1, y_1), C=(x_2, y_2).

Είναι φανερό ότι η

οφείλει να είναι παράλληλη προς την εφαπτομένη στο

άρα αν

είναι η εξίσωση της BC,

ισχύει η $m=-\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}.$ Θα δείξουμε ότι για κάθε A=(x_0,y_0)

προκύπτει ένα τρίγωνο μεγίστου εμβαδού με $k=-\dfrac{b^2}{2|y_0|}.$

Για το εμβαδόν

του τυχόντος εγγεγραμμένου τριγώνου ABC

ισχύει βεβαίως η $E^2=\dfrac{BC^2\cdot d^2}{4},$ όπου

η απόσταση του

από την

Θα εκφράσουμε το E^2

ως συνάρτηση του

και θα επιδιώξουμε την μεγιστοποίηση της.

Για την BC^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2

παρατηρούμε ότι y_1-y_2=m(x_1-x_2),

όπου τα

είναι ρίζες της δευτεροβάθμιας $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{(mx+k)^2}{b^2}=1,$ οπότε $x_1+x_2=-\dfrac{2ma^2k}{m^2a^2+b^2}$ και $x_1x_2=\dfrac{a^2(k^2-b^2)}{m^2a^2+b^2}:$ προκύπτει από όλα αυτά η $BC^2=\dfrac{4(m^2+1)a^2b^2(m^2a^2+b^2-k^2)}{(m^2a^2+b^2)^2}.$

Για την $d^2=\dfrac{(mx_0-y_0+k)^2}{m^2+1}$ παρατηρούμε ότι από τις $\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}=1$ και $m=-\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$ προκύπτουν (αβλαβώς υποθέτοντας $x_0\geq 0$ ) οι $x_0=-\dfrac{ma^2}{\sqrt{m^2a^2+b^2}}$ και $y_0=\dfrac{b^2}{\sqrt{m^2a^2+b^2}},$ και τελικά η $d^2=\dfrac{m^2a^2+b^2-2\sqrt{m^2a^2+b^2}k+k^2}{m^2+1}.$

Συμπεραίνουμε ότι $E^2=f(k)=\dfrac{a^2b^2(m^2a^2+b^2-k^2)(m^2a^2+b^2-2\sqrt{m^2a^2+b^2}k+k^2)}{(m^2a^2+b^2)^2}.$ Ο μηδενισμός της f'(k)

είναι ισοδύναμος προς την $-\left(k-\sqrt{m^2a^2+b^2}\right)^2\left(2k+\sqrt{m^2a^2+b^2}\right)=0,$ που συνεπάγεται μεγιστοποίηση για $k=-\dfrac{\sqrt{m^2a^2+b^2}}{2}=-\dfrac{b^2}{2|y_0|}.$

Εύκολα βλέπουμε ότι ισχύει η ζητούμενη $f\left(-\dfrac{\sqrt{m^2a^2+b^2}}{2}\right)=\dfrac{27a^2b^2}{16},$ ότι δηλαδή για κάθε σημείο

επί της έλλειψης υπάρχει μεγίστου εμβαδού $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}ab$ εγγεγραμμένο τρίγωνο ABC

... επαληθεύοντας την ήδη επισημανθείσα (εδώ) γεωμετρική/προβολική φύση του προβλήματος.

Λάμπρος Κατσάπας · #6

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 07, 2021 4:36 pm
Να εγγράψετε σε δοθείσα έλλειψη $\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2}=1$ όπου $\alpha, \beta>0$ τρίγωνο με το μέγιστο εμβαδόν.

Με τον μετασχηματισμό $x\rightarrow x/a,y\rightarrow y/b$ η έλλειψη γίνεται κύκλος με ακτίνα

Με τον μετασχηματισμό αυτό το εμβαδόν ενός εγγεγραμμένου στην έλλειψη τριγώνου διαιρείται δια

και το

ίδιο παθαίνει το εμβαδόν της έλλειψης που γίνεται κύκλος. Συνεπώς ο λόγος των εμβαδών διατηρείται.

Αρκεί λοιπόν να λύσουμε το πρόβλημα στον κύκλο.

Στον κύκλο το εγγεγραμμένο τρίγωνο μέγιστου εμβαδού είναι το ισόπλευρο με $E=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

Με τον αντίστροφο μετασχηματισμό βρίσκουμε τελικά ότι το εγγεγραμμένο στην έλλειψη τρίγωνο μέγιστου εμβαδού έχει $E=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}ab$

abgd · #7

: Elleipsi.png (34.14 KiB) Προβλήθηκε 1165 φορές

Με αφορμή την ιδέα του Λάμπρου, έχουμε την παρακάτω αιτιολόγηση και κατασκευή του μεγίστου εγγεγραμμένου τριγώνου στην έλλειψη....

"Προβάλουμε" κάθε σημείο της έλλειψης $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$ στον κύκλο $\displaystyle{x^2+y^2=1}$ αντιστοιχώντας το σημείο $\displaystyle{(x,y)}$ στο σημείο $\displaystyle{\left(\frac{x}{a},\frac{y}{b}\right)}$ .

Αν $\displaystyle{A_i(x_i,y_i), i=1,2,3}$ τρία διαφορετικά σημεία της έλλειψης και $\displaystyle{A'_i\left(\frac{x_i}{a},\frac{y_i}{b}\right), i=1,2,3}$ οι "προβολές" τους στον μοναδιαίο κύκλο, ισχύει:

$\displaystyle{(A_1A_2A_3)=\frac{1}{2}|det(\overrightarrow{A_1A_2},\overrightarrow{A_2A_3})|=ab\frac{1}{2}|det(\overrightarrow{A'_1A'_2},\overrightarrow{A'_2A'_3})|=ab(A'_1A'_2A'_3)\leq ab(A'B'C')=\frac{3\sqrt{3}}{4}ab}$ ,

όπου $\displaystyle{A'B'C'}$ το εγγεγραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο στον μοναδιαίο κύκλο, για το οποίο θεωρούμε γνωστό ότι έχει το μέγιστο εμβαδό.

Για την κατασκευή του μέγιστου τριγώνου της έλλειψης εργαζόμαστε ως εξής:

"Προβάλουμε" ένα τυχαίο σημείο $\displaystyle{A}$ της έλλειψης στο $\displaystyle{A'}$ του κύκλου.

Κατασκευάζουμε το ισόπλευρο, εγγεγραμμένο στον μοναδιαίο κύκλο, τρίγωνο $\displaystyle{A'B'C'}$ και βρίσκουμε τα σημεία $\displaystyle{B,C}$ της έλλειψης που οι "προβολές" τους στον κύκλο είναι τα $\displaystyle{B',C'}$ .

To $\displaystyle{ABC}$ είναι το ζητούμενο τρίγωνο.

Τρίγωνο σε έλλειψη

Τρίγωνο σε έλλειψη

Re: Τρίγωνο σε έλλειψη

Re: Τρίγωνο σε έλλειψη

Re: Τρίγωνο σε έλλειψη

Re: Τρίγωνο σε έλλειψη

Re: Τρίγωνο σε έλλειψη

Re: Τρίγωνο σε έλλειψη

Μέλη σε σύνδεση