μέγιστο με παράμετρο

#1

Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση $\displaystyle f(x) = \frac{{{x^2} + a}}{{{e^x}}}$ με $\displaystyle x,a \in R$ , παρουσιάζει τοπικά ακρότατα.
Βρείτε – αν υπάρχει- το μέγιστο του τοπικού μεγίστου.

#2

λαθος

#3

εγινε διορθωση
$\displaystyle{f'(x)=\frac{2xe^x-e^x(x^2+a)}{e^{2x}}=\frac{2x-x^2-a}{e^x}=\frac{(x-1)^2+a-1}{-e^x}}$

για να εχει ακρότατα η $\displaystyle{f}$ πρεπει $\displaystyle{a-1\le 0}$ και τότε πρεπει ακόμα $\displaystyle{(r-1)^2=1-a}$

τα ακροτατα θα ειναι τα $\displaystyle{\frac{r^2+a}{e^r}=\frac{2r}{e^r}}$

αναζητούμε το μεγιστο της $\displaystyle{2re^{-r}=g(r)}$ και ειναι $\displaystyle{a \le1,r=1\pm \sqrt{1-a}}$

$\displaystyle{{g'(r)=0 \Rightarrow e^{-r}(2-2r)=0 \Rightarrow r=1,a=1 }$ απο τον πινακα μονοτονίας της $\displaystyle{g}$ οπότε πραγματι εχουμε το

μεγιστο των τοπικων μεγιστων για $\displaystyle{a=1,r=1}$ να είναι το $\displaystyle{2/e}$

Νικος Μπετεινάκης · #4

Δεν υπάρχει αφού για α=1 είναι σημείο καμπής και όχι ακροτατο

nickolas tsik · #5

Καλησπέρα,
Για να βρούμε τα τοπικά μέγιστα της συνάρτησης $f(x) = \frac{x^2 + 1}{e^x}$ , πρέπει πρώτα να βρούμε τις κρίσιμες τιμές της. Οι κρίσιμες τιμές συμβαίνουν εκεί που η παράγωγος είναι μηδενική ή μη ορισμένη.

Ας βρούμε πρώτα την παράγωγο της f(x)

:
$\displaystyle f'(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{x^2 + 1}{e^x}\right)$

Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του πηλίκου, έχουμε:
$\displaystyle f'(x) = \frac{(2x)(e^x) - (x^2 + 1)(e^x)}{(e^x)^2}$
$\displaystyle f'(x) = \frac{2xe^x - x^2e^x - e^x}{e^{2x}}$
$\displaystyle f'(x) = \frac{(2x - x^2 - 1)e^x}{e^{2x}}$
$\displaystyle f'(x) = (2x - x^2 - 1)e^{-x}$

Τώρα, βρίσκουμε τις κρίσιμες τιμές θέτοντας f'(x) = 0

:
$\displaystyle (2x - x^2 - 1)e^{-x} = 0$

Αυτή η εξίσωση είναι μηδέν όταν είτε (2x - x^2 - 1) = 0

είτε όταν $e^{-x} = 0$ .

1. Λύνοντας (2x - x^2 - 1) = 0

:
$\displaystyle 2x - x^2 - 1 = 0$
$\displaystyle x^2 - 2x + 1 = 0$
$\displaystyle (x - 1)^2 = 0$
$\displaystyle x = 1$

2. Το $e^{-x}$ δεν μπορεί να είναι ποτέ μηδέν για πραγματικά

, οπότε δεν έχουμε κρίσιμες τιμές από εδώ.

Έτσι, η μοναδική κρίσιμη τιμή είναι x = 1

.

Τώρα, για να προσδιορίσουμε εάν αυτή η κρίσιμη τιμή αντιστοιχεί σε τοπικό μέγιστο, τοπικό ελάχιστο ή καμία από τα δύο, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την δεύτερο παραγώγιο ή να παρατηρήσουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω από το x = 1

.

$\displaystyle f''(x) = \frac{d}{dx} \left((2x - x^2 - 1)e^{-x}\right)$

$\displaystyle f''(x) = (2 - 2x)e^{-x} - (2x - x^2 - 1)e^{-x}$
$\displaystyle f''(x) = (2 - 2x - 2x + x^2 + 1)e^{-x}$
$\displaystyle f''(x) = (x^2 - 4x + 3)e^{-x}$

Τώρα, αξιολογούμε το f''(1)

:
$\displaystyle f''(1) = (1^2 - 4(1) + 3)e^{-1}$
$\displaystyle f''(1) = (1 - 4 + 3)e^{-1}$
$\displaystyle f''(1) = 0$

Δεδομένου ότι

, ο δεύτερος δείκτης είναι ανεπαρκής.

Μπορούμε να παρατηρήσουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω από το x = 1

:
- Για

:

και

, άρα

αυξάνεται και κυρτώνει προς τα κάτω
- Για x > 1

:

και

, άρα

μειώνεται και κυρτώνει προς τα πάνω.

Αυτή η συμπεριφορά υποδεικνύει ότι η f(x)

έχει τοπικό μέγιστο στο x = 1

.

Για να βρούμε τη μέγιστη τιμή, τοποθετούμε x = 1

στην αρχική συνάρτηση:
$\displaystyle f(1) = \frac{1^2 + 1}{e^1}$
$\displaystyle f(1) = \frac{2}{e}$
είναι αύξουσα για χ>1 και φθίνουσα για χ<1
Άρα, η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι $\frac{2}{e}$ όταν x = 1

.
Νομίζω πως η απάντηση μου είναι σύμφωνη με του κ Boris.
Για τα σημεία καμπής :Για να βρούμε τα σημεία καμπής μιας συνάρτησης, πρέπει να εξετάσουμε τη συμπεριφορά της δεύτερης παραγώγου. Συγκεκριμένα, σημεία καμπής συμβαίνουν εκεί που η δεύτερη παράγωγος περνά από θετική σε αρνητική ή από αρνητική σε θετική.

Έχουμε υπολογίσει τη δεύτερη παράγωγο
$\displaystyle f''(x) = (x^2 - 4x + 3)e^{-x}$ .
Ας εξετάσουμε ποιες τιμές του

κάνουν τη δεύτερη παράγωγο να αλλάξει πρόσημο.

Για να λύσουμε την εξίσωση $(x^2 - 4x + 3)e^{-x} = 0$ , πρέπει να εξετάσουμε πότε ο παρονομαστής είναι μηδέν. Δεδομένου ότι ο παρονομαστής είναι πάντα θετικός (για κάθε πραγματική τιμή του

), το $e^{-x}$ δεν μπορεί ποτέ να είναι μηδέν. Άρα, τα σημεία καμπής βρίσκονται μόνο εκεί που ο αριθμητής είναι μηδέν.

Λύνοντας την εξίσωση x^2 - 4x + 3 = 0

:
$\displaystyle x^2 - 4x + 3 = 0 \\ (x - 1)(x - 3) = 0 \\ x = 1 \quad \text{ή} \quad x = 3$

Άρα, τα σημεία καμπής είναι x = 1

και

.

#6

Πρόσεξε αυτό το σημείο

nickolas tsik έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 13, 2024 6:08 pm

Μπορούμε να παρατηρήσουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω από το :
- Για : και , άρα αυξάνεται και κυρτώνει προς τα πάνω.

#7

δεν χρειάζεται να μπλεξουμε τα σημεια καμπης και την κυρτοτητα

μέγιστο με παράμετρο

μέγιστο με παράμετρο

Re: μέγιστο με παράμετρο

Re: μέγιστο με παράμετρο

Re: μέγιστο με παράμετρο

Re: μέγιστο με παράμετρο

Re: μέγιστο με παράμετρο

Re: μέγιστο με παράμετρο

Μέλη σε σύνδεση