Τιμή Παραγώγου

nonlinear · #1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \sqrt {\left( {1 + \varepsilon \varphi \left( {2 x} \right)} \right) \cdot \left( {1 + \varepsilon \varphi \left( {4 x} \right)} \right) \cdot \left( {1 + \varepsilon \varphi \left( {6 x} \right)} \right) \cdot ... \cdot \left( {1 + \varepsilon \varphi \left( {32 x} \right)} \right)} }$

Να βρεθεί η τιμή της $\displaystyle{f'\left( 0 \right)}$ .

#2

Είναι $\displaystyle{f(0)=1}$ και για $\displaystyle{x}$ κοντά στο $\displaystyle{0}$ έχουμε

$\displaystyle{\ln f(x)=\frac{1}{2}\left[\ln (1+\tan 2x)+\ln (1+\tan 4x)+\cdots \ln (1+\tan 32x) \right]}$ , άρα

$\displaystyle{\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\frac{1}{2}\left[2\frac{1+\tan ^{2}2x}{1+\tan 2x}+4\frac{1+\tan ^{2}4x}{1+\tan 4x}+\cdots +32\frac{1+\tan ^{2}32x}{1+\tan 32x} \right]}$ .

Επομένως, είναι

$\displaystyle{f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}(2+4+\cdots +32)=1+2+3+\cdots +16=\frac{16\cdot 17}{2}=136.}$

nonlinear · #3

Ωραία λύση Θάνο.

#4

Μετά την κομψή απάντηση του Θάνου
---------------------------------------
$\displaystyle{f(x)=\sqrt{(1+\tan(2x))(1+\tan(4x))\dots (1+\tan(32x))}\Longrightarrow f(x)=\sqrt{g(x)}}$

$\displaystyle{f^{\prime}(x)=\frac{1}{2f(x)}\cdot\Big(2 (1+\tan^2(2x))\cdot\frac{g(x)}{1+\tan(2x)}+4 (1+\tan^2(4x))\cdot\frac{g(x)}{1+\tan(4x)}+\dots+32 (1+\tan^2(32x))\cdot\frac{g(x)}{1+\tan(32x)}\Big)}$

$\displaystyle{f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{f(x)}\Big(\frac{1+\tan^2(2x)}{1+\tan(2x)}+2\frac{1+\tan^2(4x)}{1+\tan(4x)}+\dots+16\frac{1+\tan^2(32x)}{1+\tan(32x)}\Big)\Longrightarrow f^{\prime}(0)=1+2+\dots+16=136}$

GMANS · #5

Αν $g_n(x)=1+\varepsilon \varphi (2nx) , n\varepsilon N$

g_n

παρ/μη σε άνοικτό διάστημα Δ
που περιέχει το 0 με

$\acute{g}_n(x)=\frac{2n}{\sigma \upsilon \nu ^2(2nx)}$

Αν h(x)=g_1(x)g_2(x)...g_1_6(x)

τότε

$f(x)=\sqrt{h(x)},$ , h παρμή στο Δ με

$\acute{h}(x)=h(x)(\frac{\acute{g_1(x)}}{g_1(x)}+\frac{\acute{g_2(x)}}{g_2(x)}+...+\frac {\acute{g_1_6(x)}}{g_1_6(x)})$

F παρ/μη στο Δ με

$\acute{f}(x)=\frac{\acute{h}(x)}{2\sqrt{h(x)}}$

Οπότε

$\acute{f}(0)=\frac{2\acute{h}(0)}{\sqrt{h (0)}}=\frac{2+4+...+32}{2}=136$

nonlinear · #6

Πολύ ωραία λύση επίσης GMANS .

Τιμή Παραγώγου

Τιμή Παραγώγου

Re: Τιμή Παραγώγου

Re: Τιμή Παραγώγου

Re: Τιμή Παραγώγου

Re: Τιμή Παραγώγου

Re: Τιμή Παραγώγου

Μέλη σε σύνδεση