Συνηθισμένη

#1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με τύπο $\displaystyle{f(x) = {e^x} + \ln (x + 1) + x}$
α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί το σύνολο τιμών της
β) Να μελετηθεί ως προς την κυρτότητα και να βρεθούν τα σημεία καμπής της γραφικής παράστασής της .
γ) Να αποδειχθεί ότι αντιστρέφεται και ότι η εξίσωση $\displaystyle{{f^{ - 1}}(x) = f(x)}$ έχει μοναδική ρίζα $\displaystyle{k \in ( - 1,0)}$
δ) Να βρεθεί σαν συνάρτηση του $\displaystyle{k}$ το σύνολο λύσεων της ανίσωσης $\displaystyle{{f^{ - 1}}(x) > x}$

papamixalis · #2

Καλησπέρα

Αρχικά μιλάμε για x>-1

a) $f'(x)=e^x+\dfrac{1}{x+1}+1 >0$ για x>-1

άρα η f είναι γν. αύξουσα.
υπολογίζοντας τα όρια στο -1 και στο + άπειρο , το σύνολο τιμών είναι το
$(- \infty,+\infty)$ δηλαδή το

b) $f''(x)=e^x-\dfrac{1}{(x+1)^2}$

x=0

προφανής ρίζα.
Έστω ότι έχει και άλλη, τότε από το θεώρημα του Rolle θα υπάρχει $x_{0}$ τέτοιο ώστε $f'''(x_{0})=0$ .
Άτοπο αφού $f'''(x)=e^x+\dfrac{2}{(x+1)^3}>0$ για x>-1

c)Η

είναι

αφού είναι γν.αύξουσα.
Επομένως και τα κοινά σημεία της εξίσωσης θα βρίσκονται στην y=x

Αρκεί να λύσω λοιπόν την $f(x)=x \leftrightarrow e^x+ln(x+1)=0$
Για να έχει ρίζα η εξίσωση πρέπει $ln(x+1)<0 \leftrightarrow x+1<1 \leftrightarrow x<0$ και επειδή η

ορίζετε για x>-1

η ρίζα k της εξίσωσης θα ανήκει στο (-1,0)

μοναδική λόγω μονοτονίας.

d)Η

είναι γν. αύξουσα.Άρα η ανίσωση ισοδυναμεί με την $x>f(x) \leftrightarrow e^x+ln(x+1)<0$
Θεωρώ συνάρτηση g(x)=e^x+ln(x+1)

γν. αύξουσα.
Επίσης γνωρίζω ότι g(k)=0

άρα αρκεί να λύσω την $g(x)<g(k) \leftrightarrow x<k$ αφού η

είναι γν. αύξουσα.
Επειδή όμως η $f^{-1}$ ορίζεται στο

και είναι $f^{-1}(x)>x$ για $x \leq -1$ η ανίσωση θα ισχύει για κάθε x<k

EDIT:Όπως είπε και ο κύριος Μιχάλης και με ενημέρωσε και ο κύριος Γιώργος σε μήνυμα η ανίσωση ισχύει απλά για x<k

το διορθώνω για να μην υπάρχουν παρανοήσεις.

Φιλικά
Μιχάλης

#3

exdx έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με τύπο $\displaystyle{f(x) = {e^x} + \ln (x + 1) + x}$
α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί το σύνολο τιμών της
β) Να μελετηθεί ως προς την κυρτότητα και να βρεθούν τα σημεία καμπής της γραφικής παράστασής της .
γ) Να αποδειχθεί ότι αντιστρέφεται και ότι η εξίσωση $\displaystyle{{f^{ - 1}}(x) = f(x)}$ έχει μοναδική ρίζα $\displaystyle{k \in ( - 1,0)}$
δ) Να βρεθεί σαν συνάρτηση του $\displaystyle{k}$ το σύνολο λύσεων της ανίσωσης $\displaystyle{{f^{ - 1}}(x) > x}$

...μιά προσπάθεια....

α) Για να ορίζεται η

πρέπει και αρκεί $x+1>0\Leftrightarrow x>-1$ άρα το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο

$A=(-1,\,\,+\infty )$ Η $\displaystyle{f(x) = {e^x} + \ln (x + 1) + x}$ είναι παραγωγίσιμη στο $A=(-1,\,\,+\infty )$ με

${f}'(x)={{e}^{x}}+\frac{1}{x+1}+1>0,\,\,\,x\in (-1,\,\,+\infty )$ επομένως η

είναι γνήσια αύξουσα στο $A=(-1,\,\,+\infty )$

και λόγω της συνέχειας της είναι $f(A)=(\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,f(x),\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x))=(-\infty ,\,\,+\infty )=R$

επειδή $\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x+1}=-\infty$ και

$\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,({{e}^{x}}+1)=\frac{1}{e}+1$ και

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(\frac{1}{x+1}+1)=0$ , $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{x}}=+\infty$

β) Είναι η ${f}'(x)={{e}^{x}}+\frac{1}{x+1}+1>0,\,\,\,x\in (-1,\,\,+\infty )$ παραγωγίσιμη με

${f}''(x)={{e}^{x}}-\frac{1}{{{(x+1)}^{2}}},\,\,\,x\in (-1,\,\,+\infty )$ με {f}''(0)=0

και ακόμη

${f}'''(x)={{e}^{x}}+\frac{2}{{{(x+1)}^{3}}}>0,\,\,\,x\in (-1,\,\,+\infty )$ άρα η {f}''

είναι γνήσια αύξουσα στο $A=(-1,\,\,+\infty )$

επομένως για $x<0\Rightarrow {f}''(x)<{f}''(0)=0$ συνεπώς η

είναι κοίλη στο $(-1,\,\,0]$ και για

$x>0\Rightarrow {f}''(x)>{f}''(0)=0$ συνεπώς η

είναι κυρτή στο $[0,\,\,+\infty )$ οπότε το σημείο για $(0,\,\,f(0))$ ή $(0,\,\,f(0))$

είναι σημείο καμπής της

.

γ) Επειδή η

είναι γνήσια αύξουσα άρα και '1-1'

είναι αντιστρέψιμη με ${{f}^{1}}:R\to (-1,\,\,+\infty )$ .

Τώρα θεωρώντας το σύστημα των εξισώσεων

$(\Sigma )\left\{ \begin{matrix} & y=f(x) \\ & y={{f}^{-1}}(x) \\ \end{matrix} \right.$ με $x\in {{D}_{f}}\cap {{D}_{{{f}^{-1}}}}=(-1,\,\,+\infty )$ είναι ισοδύναμα $\left\{ \begin{matrix} & y=f(x) \\ & f(y)=x \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & y=f(x) \\ & f(y)+y=f(x)+x \\ \end{matrix} \right.$

και επειδή η συνάρτηση g(x)=f(x)+x

είναι γνήσια αύξουσα στο $A=(-1,\,\,+\infty )$ ισοδύναμα έχουμε ότι

$\left\{ \begin{matrix} & y=f(x) \\ & g(y)=g(x) \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & y=f(x) \\ & y=x \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & f(x)=x \\ & y=x \\ \end{matrix} \right.$ (1)

Η εξίσωση f(x)=x

ισοδύναμα ${{e}^{x}}+\ln (x+1)+x=x\Leftrightarrow {{e}^{x}}+\ln (x+1)=0$ .

Τώρα για την συνάρτηση $h(x)={{e}^{x}}+\ln (x+1)$ που είναι συνεχής ισχύουν

h(0)=1>0

και $\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,h(x)=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,({{e}^{x}}+\ln (x+1))=-\infty$

άρα υπάρχει $\alpha >-1$ με $h(\alpha )<0$ οπότε $h(0)h(\alpha )<0$ και σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει

$k\in (\alpha ,0)\subset (-1,\,\,0)$ που h(k)=0

που είναι μοναδικό γιατί

${h}'(x)={{e}^{x}}+\frac{1}{x+1}>0,\,\,\,x\in (-1,\,\,+\infty )$ άρα η

γνήσια αύξουσα στο $(-1,\,\,+\infty )$ άρα και '1-1'

οπότε

(1) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & f(x)=x \\ & y=x \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & x=k \\ & y=k \\ \end{matrix} \right.$ δηλαδή το σύστημα έχει μοναδική λύση την $(k,\,\,k)$ άρα

${{f}^{-1}}(x)=f(x)\Leftrightarrow x=\kappa$

δ) Είναι ${{f}^{-1}}(x)>x\overset{f\nearrow }{\mathop{\Leftrightarrow }}\,f({{f}^{-1}}(x))>f(x)\Leftrightarrow x-f(x)>0$ (2)

Τώρα σύμφωνα με το (γ) η εξίσωση f(x)-x=0

έχει μοναδική λύση στο $(-1,\,\,+\infty )$ την $x=\kappa \in (-1,\,\,0)$

και επειδή η συνάρτηση $\phi (x)=f(x)-x$ είναι συνεχής και $\phi (x)\ne 0,\,\,\,x\in (-1,\,\,k)\cup (k,\,\,+\infty )$

διατηρεί σταθερό πρόσημο στα $(-1,\,\,k),\,\,(k,\,\,+\infty )$ και αφού

$\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\phi (x)=-\infty$ είναι $\phi (x)<0,\,\,\,x\in (-1,\,\,k)$ ισοδύναμα

$f(x)-x<0\Leftrightarrow x-f(x)>0,\,\,\,x\in (-1,\,\,k)$ άρα η (2) αληθεύει για $x\in (-1,\,\,k)$

: ΣΥΝΗΘΙΣΜΕΝΗ.jpg (16.91 KiB) Προβλήθηκε 1148 φορές

...πρόσθεσα και τις γραφικές παραστάσεις βλέποντας την έλλειψη που είχε η απάντηση στο (δ) και έδωσε ο Μιχάλης στο
επόμενο post
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

maiksoul · #4

Για το δ) η αρχική ανίσωση ορίζεται σε όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών .Επιπλέον λοιπόν έχουμε:
Για $x\leq-1$ είναι $x\leq-1<f^{-1}(x)$ άρα η αρχική ανίσωση έχει λύσεις όλα τα x<k

mathematica.gr

Συνηθισμένη

Συνηθισμένη

Re: Συνηθισμένη

Re: Συνηθισμένη

Re: Συνηθισμένη

Μέλη σε σύνδεση