ΑΣΚΗΣΗ

Wizard98 · #1

Έστω η συνάρτηση

ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο (-2, ∞)

με

για την οποία ισχύει: f"(x) + f(x)*f'(x)=0

για κάθε

. Αν η

δεν έχει ρίζα να βρεθέι ο τύπος της.
Έχω καταλήξει ότι f(x)=

$\frac{2}{x+2}$ . Είναι σωστό; Ευχαριστώ.

M.S.Vovos · #2

Πρέπει να γράφεις στο forum με κώδικα $\LaTeX$ .

Τώρα στην ερώτηση σου, πες ότι θέλεις να δεις αν επαληθεύει αυτή η συνάρτηση την ανωτέρω διαφορική εξίσωση. Πριν ζητήσεις βοήθεια από το forum, έλεγξε αν αυτή επαληθεύει τις αρχικές συνθήκες. Αν επαληθεύει τότε το να σου πούμε ότι αυτή είναι δεν έχει κανένα νόημα, μιας και η πορεία της λύσης σου μπορεί να περιέχει λάθη.

Οπότε:

1) Μην ανεβάζεις κατευθείαν την απορία σου αν δεν την έχεις σκεφτεί αρκετά.

2) Γράψε την λύση σου, για να σε βοηθήσουμε.

Φιλικά,
Μάριος

Wizard98 · #3

$f\prime\prime(x) + f(x)*f\prime(x)$ $\Leftrightarrow$

$2f\prime\prime(x) + 2f(x)*f\prime(x)=0$ $\Leftrightarrow$

$2f(x)*f\prime(x)=-2f\prime\prime(x)$ $\Leftrightarrow$

$(f^2(x))\prime=(-2f\prime(x))\prime$ $\Leftrightarrow$

$f^2(x)=-2f\prime(x) + c1$

Για x=0

έχουμε:

Άρα:
$f^2(x) = -2f\prime(x)$

Αφού η

δεν έχει ρίζα και f(0)=1

$\Rightarrow$ f(x)>0

$\forall$

Άρα:
$\frac{f^2(x)}{f^2(x)}=\frac{-2f\prime(x)}{f^2(x)}$ $\Leftrightarrow$

$-\frac{f\prime(x)}{f^2(x)}=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow$

$(\frac{1}{f(x)})\prime=(\frac{x}{2})\prime$

Άρα:
$\frac{1}{f(x)}=\frac{x}{2} + c2$

Για x=0

έχουμε:

Άρα:
$\frac{1}{f(x)}=\frac{x+2}{2}$ $\Leftrightarrow$

$f(x)=\frac{2}{x+2}$

Είναι εντάξει; Ευχαριστώ.

M.S.Vovos · #4

Με μια γρήγορη ματιά η λύση σου είναι σωστή.

Φιλικά.

mathematica.gr

ΑΣΚΗΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ

Re: ΑΣΚΗΣΗ

Re: ΑΣΚΗΣΗ

Re: ΑΣΚΗΣΗ

Μέλη σε σύνδεση