Ερώτηση

NikosB · #1

Αν εφαρμόσουμε ΘΜΤ για μια συνάρτηση στο [x,x+1]

το $f'(x_{o})$ Και έχουμε βγάλει μια ανισοτικη σχέση που περιέχει αυτό και το Χο μπορούμε να πούμε ότι το $x_{o}=x$ εφόσον μπορεί να βρίσκεται οπουδήποτε σε αυτό το διάστημα; x> 1

#2

NikosB έγραψε:Αν εφαρμόσουμε ΘΜΤ για μια συνάρτηση στο το $f'(x_{o})$ Και έχουμε βγάλει μια ανισοτικη σχέση που περιέχει αυτό και το Χο μπορούμε να πούμε ότι το $x_{o}=x$ εφόσον μπορεί να βρίσκεται οπουδήποτε σε αυτό το διάστημα;

Η ερώτηση είναι αρκετά ασαφής και γενικόλογη. Το καλύτερο είναι να γράψεις ακριβώς τα βήματα που έκανες, και θα σου απαντήσουμε σε συγκεκριμένο σημείο.

NikosB · #3

Έχω να αποδείξω ότι $lnx/x+1< (ln^{2}(1+x)-ln^{2}x)/2< ln(x+1)/x x>1$
Θεώρησα μια συνάρτηση $\ln^{2}x$ , x>1

εφαρμοσα ΘΜΤ στο παραπάνω διάστημα και μελέτησα την συνάρτηση που έθεσα ως προς την μονοτονία της f'(x)

η οποία ειναι γνησιως αύξουσα στο [1,e]

Και φθίνουσα $[e,+\infty)$
Εκει που είναι γνησιως αύξουσα για $x<x_{o}<x+1$
Εκεί που ειναι γνησιως φθίνουσα δεν μου βγαίνει

#4

NikosB έγραψε:Έχω να αποδείξω ότι $lnx/x+1< (ln^{2}(1+x)-ln^{2}x)/2< ln(x+1)/x x>1$ ..

Η ανισότητα είναι

$\displaystyle\frac{\ln{x}}{x+1}<\frac{1}{2}\,(\ln^{2}(1+x)-\ln^{2}x)< \frac{\ln(x+1)}{x}\,,\; x>1$ ;

ή

$\displaystyle\frac{\ln{x}}{x}+1<\frac{1}{2}\,(\ln^{2}(1+x)-\ln^{2}x)< \frac{\ln(x+1)}{x}\,,\; x>1$ ;

ή μήπως

$\displaystyle\frac{\ln{x}}{x}+1<\frac{1}{2}\,(\ln^{2}(1+x)-\ln^{2}x)< \ln\frac{x+1}{x}\,,\; x>1$ ;

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Δεν είναι για τυπικούς λόγους που πρέπει οι μαθηματικές εκφράσεις πρέπει να είναι σωστά γραμμένες σε κώδικα LaTeX.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Καλημέρα Νίκο.

Αν είναι η πρώτη από τις ανισότητες που έγραψε ο Γρηγόρης τότε

1)Διαφορά τετραγώνων

2)Χρήση της $1-\frac{1}{x}\leq lnx\leq x-1$

NikosB · #6

Είναι η πρώτη από τις ανισότητες την έλυσα κατασκευαστικά $x<x_{o}<x+1\rightarrow$
$1/x>1/x_{o}>1/x+1$ (1)

$\ln x<\ln x_{o}<\ln(x+1) (2)$
Αν πολλαπλασιάσουμε τις (1),(2)

Και από το ΘΜΤ για την $\ln^{2}x$ στο [x,x+1]

Προκύπτει αυτή που θέλουμε να αποδείξουμε
Συγγνώμη για την τυχόν ταλαιπωρία που προκάλεσα
Δεν είχα δει καλά την ανισότητα και είχα βάλει τους παρανομαστες λάθος
Ευχαριστώ

#7

NikosB έγραψε:Είναι η πρώτη από τις ανισότητες την έλυσα κατασκευαστικά $x<x_{o}<x+1\rightarrow$
$1/x>1/x_{o}>1/x+1$
$\ln x<\ln x_{o}<\ln(x+1) (2)$
Αν πολλαπλασιάσουμε τις
Και από το ΘΜΤ για την $\ln^{2}x$ στο
Προκύπτει αυτή που θέλουμε να αποδείξουμε
...

Κάτι δεν πάει καλά με την εφαρμογή του ΘΜΤ στο [x,x+1]

για την συνάρτηση $f(x)=\ln^2{x}\,,\; x>1$ , σε σχέση με την συγκεκριμένη ανισότητα

$\displaystyle\frac{\ln{x}}{x+1}<\frac{1}{2}\,\big(\ln^2(x+1)-\ln^2{x}\big)<\frac{\ln({x+1})}{x}\quad(*)\,.$

Αν η παράγωγος $f'(x)=\frac{2\ln{x}}{x}\,,\; x>1$ ήταν μονότονη (που δεν είναι στο $[1,+\infty)$ ), τότε τότε για $x_0\in(x,x+1)$ θα προέκυπτε η ανισότητα

$\begin{aligned} f'(x)<f'(x_0)<f'(x+1)\quad\Rightarrow\quad\frac{\ln{x}}{x}<\frac{1}{2}\,\big(\ln^2(x+1)-\ln^2{x}\big)<\frac{\ln({x+1})}{x+1} \quad(**) \end{aligned}$

και όχι η (*)

. Αλλά και η (**)

δεν μπορεί να αποδειχθεί με την εφαρμογή του ΘΜΤ στο [x,x+1]

, αφού η

αλλάζει μονοτονία στο $x={\rm{e}}$ . π.χ. πως θα αντιμετωπίζαμε την περίπτωση $x<{\rm{e}}<x+1$ ;

Φιλικά

mathematica.gr

Ερώτηση

Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Μέλη σε σύνδεση