Μέγιστο άθροισμα

KARKAR · #1

: Μέγιστο άθροισμα.png (6.74 KiB) Προβλήθηκε 885 φορές

Στην προέκταση της ακτίνας

του τεταρτοκυκλίου του σχήματος , θεωρούμε σημείο

,

τέτοιο ώστε : AP=OA

. Συνδέουμε τυχαίο εσωτερικό σημείο

του τόξου , με το

και φέρουμε $ST \perp OB$ . Ενδιαφερόμαστε για το άθροισμα : s= PS+ST

.

α) ( ΜΟΝΑΔΕΣ 5 ) : Δείξτε ότι : s>8

.

β) ( ΜΟΝΑΔΕΣ 8 ) : Δείξτε ότι υπάρχει θέση του

, ώστε :

.

γ) ( ΜΟΝΑΔΕΣ 12 ) : Υπάρχει περίπτωση να είναι s>9

;

Ας την αφήσουμε για 26 ώρες στους μαθητές . Που ξέρεις ;

Friedoon · #2

Α)Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε s>TP>OP=8

,αφού το TP είναι η υποτείνουσα του OTP

.

Β) Έστω (x_s,y_s)

οι συντεταγμένες του

τότε επειδή το

ανήκει στον κύκλο O: x^2 +y^2=16

θα ισχύει

όμως $s= TS + SP = x_s + \sqrt{y_s^2 + (8-x_s)^2}= x_s+ \sqrt{16-16x_s+64}$

και για x_s=1

έχουμε

.

Γ) Η συνάρτηση s(x_s)

είναι παρ/μη στο [0,4]

από ΘΜΕΤ η

παίρνει μέγιστη τιμή στο $x_s' \in [0,4]$
και αφού

$s(0)=\sqrt{80}<s(1)$ και s(4)=8<s(1)

θα είναι

και από Θ.Fermat θα ισχύει.

$s'(x_s')=0 \Leftrightarrow 1-\dfrac{8}{\sqrt{80-16x_s'}}=0 \Leftrightarrow \sqrt{80-16x_s'}=8$

$\Rightarrow 80-16x_s'=64 \Leftrightarrow x_s'=1$

άρα $s(x_s)\le 9$

mathematica.gr

Μέγιστο άθροισμα

Μέγιστο άθροισμα

Re: Μέγιστο άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση