παράγωγος συναρτησης

xarit · #1

Καλησπέρα.
Όταν θέλουμε να βρούμε την παράγωγο της $f(x)=\dfrac{e^x\sqrt{x}}{2}$ δεν πρέπει να εξετάσουμε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x_0=0

;
Γνωρίζω ότι οι συναρτήσεις της μορφής $\sqrt[\nu]{f(x)}$ δεν είναι παραγωγίσιμες στο σημείο που μηδενίζονται(πρέπει να το αποδεικνύω;) αλλά τι γίνετε με αυτές τις συναρτήσεις $f(x)\cdot\sqrt[\nu]{g(x)}$ ;

#2

xarit έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 01, 2019 1:28 pm
Καλησπέρα.
Όταν θέλουμε να βρούμε την παράγωγο της $f(x)=\dfrac{e^x\sqrt{x}}{2}$ δεν πρέπει να εξετάσουμε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο ;
Γνωρίζω ότι οι συναρτήσεις της μορφής $\sqrt[\nu]{f(x)}$ δεν είναι παραγωγίσιμες στο σημείο που μηδενίζονται(πρέπει να το αποδεικνύω;) αλλά τι γίνετε με αυτές τις συναρτήσεις $f(x)\cdot\sqrt[\nu]{g(x)}$ ;

Καλησπέρα.

Δεν αλλάζει κάτι με την τελευταία συνάρτηση που έγραψες ούτε χρειάζεται να εξετάσεις εκ των προτέρων πού είναι παραγωγίσιμη. Βρίσκεις πρώτα την παράγωγο και στη συνέχεια εξετάζεις πού ορίζεται.

π.χ η $\displaystyle f(x) = \frac{{{e^x}\sqrt x }}{2}$ ορίζεται στο $\displaystyle [0, + \infty )$ και έχει παράγωγο $\displaystyle f'(x) = \frac{{{e^x}(2x + 1)}}{{4\sqrt x }}$

Τώρα βλέπουμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle (0, + \infty ).$

#3

xarit έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 01, 2019 1:28 pm
Καλησπέρα.
Όταν θέλουμε να βρούμε την παράγωγο της $f(x)=\dfrac{e^x\sqrt{x}}{2}$ δεν πρέπει να εξετάσουμε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο ;
Γνωρίζω ότι οι συναρτήσεις της μορφής $\sqrt[\nu]{f(x)}$ δεν είναι παραγωγίσιμες στο σημείο που μηδενίζονται(πρέπει να το αποδεικνύω;) αλλά τι γίνετε με αυτές τις συναρτήσεις $f(x)\cdot\sqrt[\nu]{g(x)}$ ;

Για την πρώτη μπορείς εύκολα να βρεις την παράγωγο από τους γνωστούς κανόνες, αλλά πρέπει να εργαστείς για $x\ne 0$ εφόσον κάποιος παρονομαστής μηδενίζεται. Δεν τελειώσαμε όμως. Μένει η περίπτωση του x=0

, στο οποίο οι κανόνες δεν εφαρμόζονται, οπότε πρέπει να πάμε από τον ορισμό. Στο τέλος θα βρεις ότι εκεί δεν παραγωγίζεται.

Περιμένουμε εδώ να μας πεις πώς ακριβώς θα το κάνεις.

Για το δεύτερο σημείο που ρωτάς: Λες "Γνωρίζω ότι οι συναρτήσεις της μορφής $\sqrt[\nu]{f(x)}$ δεν είναι παραγωγίσιμες στο σημείο που μηδενίζονται".

Από που το γνωρίζεις;

Κάτι δεν πάει καλά αφού για παράδειγμα η $\sqrt {x^4}$ είναι παραγωγίσιμη στο

, αντίθετα από τον ισχυρισμό σου.

xarit · #4

Γενίκευσα το συμπέρασμα από την $\sqrt{x}$ .Ευχαριστώ για την υπόδειξη.Τώρα όσο αναφορά την συνάρτηση,έχουμε:
Για χ=0,βρίσκουμε το όριο: $\underset{x\to 0^+}{\mathop{\lim}}\,\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0^+}{\mathop{\lim}}\,\dfrac{e^x\sqrt{x}}{2x}=\underset{x\to 0^+}{\mathop{\lim}}\,\dfrac{e^x}{2\sqrt{x}}=+\infty$
Άρα δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0.
Όταν λέτε κ.Γίωργο ότι τώρα βλέπουμε ότι δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0, εννοείτε ότι το βλέπουμε εμπειρικά από τον ορισμό,σωστά;

Λάμπρος Κατσάπας · #5

xarit έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 01, 2019 4:19 pm
Γενίκευσα το συμπέρασμα από την $\sqrt{x}$ .Ευχαριστώ για την υπόδειξη.Τώρα όσο αναφορά την συνάρτηση,έχουμε:
Για χ=0,βρίσκουμε το όριο: $\underset{x\to 0^+}{\mathop{\lim}}\,\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0^+}{\mathop{\lim}}\,\dfrac{e^x\sqrt{x}}{2x}=\underset{x\to 0^+}{\mathop{\lim}}\,\dfrac{e^x}{2\sqrt{x}}=+\infty$
Άρα δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0.
Όταν λέτε κ.Γίωργο ότι τώρα βλέπουμε ότι δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0, εννοείτε ότι το βλέπουμε εμπειρικά από τον ορισμό,σωστά;

Καλησπέρα. Γενικά όταν θέλουμε να βρούμε ΠΟ αθροίσματος, γινομένου, συνθεσης κλπ δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα από τον τύπο της καινούριας συνάρτησης για το ΠΟ της. Πρωτα βρίσκουμε ΠΟ και μετά τύπο. Τα παραδειγματα όπου πρωτα βρίςκουμε τύπο και μετά ΠΟ και μας οδηγούν σε λάθος πολλά. Ο τύπος που καταληγουμε $\frac{e^x(2x+1)}{4\sqrt{x}}$
ισχυει για x>0

. Το οτι δενν μπορείς να βάεις το μηδέν στον τύπο δεν λέει απολύτως τιποτα. Οφειλεις να εξετάσεις στο μηδέν ξεχωριστά τι συμβαίνει. Βέβαια εδώ επειδή παίρνοντας όριο βλέπεις ότι αυτό είναι άπειρο σημαίνει ότι όντως δεν παραγωγίζεται στο μηδέν. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η παράγωγος δεν μπορεί να κάνει άλμα αλλά αυτό δεν αφορά έναν μαθητή σε επίπεδο εξετάσεων. Με λίγα λόγια μια τέτοια προσέγγιση ενδεχομένως θα σου έκοβε μόρια.

#6

xarit έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 01, 2019 4:19 pm
Γενίκευσα το συμπέρασμα από την $\sqrt{x}$ .Ευχαριστώ για την υπόδειξη.Τώρα όσο αναφορά την συνάρτηση,έχουμε:
Για χ=0,βρίσκουμε το όριο: $\underset{x\to 0^+}{\mathop{\lim}}\,\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0^+}{\mathop{\lim}}\,\dfrac{e^x\sqrt{x}}{2x}=\underset{x\to 0^+}{\mathop{\lim}}\,\dfrac{e^x}{2\sqrt{x}}=+\infty$
Άρα δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0.
Όταν λέτε κ.Γίωργο ότι τώρα βλέπουμε ότι δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0, εννοείτε ότι το βλέπουμε εμπειρικά από τον ορισμό,σωστά;

Ναι, πάντα το επιβεβαιώνουμε με τον ορισμό. Σκέψου τώρα αυτό που έγραψε ο κ. Λάμπρου.

Η συνάρτηση $\displaystyle \sqrt {{x^4}}$ είναι παραγωγίσιμη στο

Γιατί;

Μπορούμε να πούμε το ίδιο για την $\displaystyle \sqrt {{x^2}} ;$ Γιατί;

xarit · #7

Δεν απάντησα στον κ.Λάμπρου γιατί το κατάλαβα(νομίζω

).
$\sqrt{x^4}=x^2$ και $\sqrt{x^2}=|x|$ η οποία δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0.

mathematica.gr

παράγωγος συναρτησης

παράγωγος συναρτησης

Re: παράγωγος συναρτησης

Re: παράγωγος συναρτησης

Re: παράγωγος συναρτησης

Re: παράγωγος συναρτησης

Re: παράγωγος συναρτησης

Re: παράγωγος συναρτησης

Μέλη σε σύνδεση