Άθροισμα διαγωνίων

KARKAR · #1

: Άθροισμα διαγωνίων.png (12.33 KiB) Προβλήθηκε 948 φορές

Η μεγάλη βάση

του τραπεζίου ABCD

είναι διπλάσια της μικρής όπως και η πλευρά

,

ενώ η

έχει μεταβλητό μήκος . Βρείτε το μέγιστο άθροισμα των διαγωνίων

και

.

#2

Καλημέρα σε όλους.

: 11-02-2023 Ανάλυση.png (11.23 KiB) Προβλήθηκε 930 φορές

Έστω

.

Έστω $\displaystyle B\left( {0,0} \right),C\left( {2,0} \right),A\left( {t,k} \right),D\left( {t + 1,k} \right),\;\;{t^2} + {k^2} = 4$

Οπότε $\displaystyle \left( {BD} \right) + \left( {AC} \right) = \sqrt {{{\left( {t + 1} \right)}^2} + {k^2}} + \sqrt {{{\left( {t - 2} \right)}^2} + {k^2}} = \sqrt {5 + 2t} + \sqrt {8 - 4t}$

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = \sqrt {5 + 2x} + \sqrt {8 - 4x} ,\;x \in \left[ { - 2,2} \right]$ έχει παράγωγο
$\displaystyle f'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {5 + 2x} }} - \frac{2}{{\sqrt {8 - 4x} }}$ και μηδενίζεται για x=-1

, τιμή για την οποία η

έχει μέγιστο.

Τότε $\displaystyle {f_{\max }} =3\sqrt 3$ και $\displaystyle \left( {BD} \right) + \left( {AC} \right){\,_{\max }} = 3\sqrt 3 \cdot a$

Για τη θέση αυτή είναι Είναι $\displaystyle \widehat {ABC} = 120^\circ$ .

#3

: Άθροισμα διαγωνίων.png (12.33 KiB) Προβλήθηκε 910 φορές

Επίσης, με Ν. Συνημιτόνων στα ACB, ABD

είναι $\displaystyle \left( {AC} \right) + \left( {BD} \right) = a\left( {\sqrt {8 - 8\sigma \upsilon \nu \varphi } + \sqrt {5 + 4\sigma \upsilon \nu \varphi } } \right)$

Με τη χρήση παραγώγων:

$\displaystyle f\left( x \right) = \sqrt {8 - 8\sigma \upsilon \nu x} + \sqrt {5 + 4\sigma \upsilon \nu x} ,\;x \in \left( {0,\;\pi } \right)$

Είναι $\displaystyle f'\left( x \right) = 2\eta \mu x\left( {\frac{2}{{\sqrt {8 - 8\sigma \upsilon \nu x} }} - \frac{1}{{\sqrt {5 + 4\sigma \upsilon \nu x} }}} \right)$

Μηδενίζεται για $\displaystyle \sigma \upsilon \nu x = - \frac{1}{2}$ , τιμή για την οποία η

έχει μέγιστο, oπότε $\displaystyle \left( {AC} \right) + \left( {BD} \right)\,\max = 3\sqrt 3 a$

#4

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 11, 2023 10:08 am
Με τη χρήση παραγώγων:

$\displaystyle f\left( x \right) = \sqrt {8 - 8\sigma \upsilon \nu x} + \sqrt {5 + 4\sigma \upsilon \nu x} ,\;x \in \left( {0,\;\pi } \right)$

Ωραία λύση, με Γεωμετρία και Ανάλυση.

Μου τράβηξε την προσοχή η παράσταση με σκοπό να βρεθεί μία λύση χωρίς παραγώγους ώστε η άσκηση να είναι προσιτή και σε διαγωνισμούς όπου η χρήση της Ανάλυσης είναι εκτός. Μία τέτοια, με Cauchy-Schwarz, εδώ:

$\sqrt {8 - 8\cos x} + \sqrt {5 + 4\cos x}= \sqrt {8 - 8\cos x} + \dfrac {1} {2} \sqrt {5 + 4\cos x} +\dfrac {1} {2} \sqrt {5 + 4\cos x}$

$\le \sqrt {1+\dfrac {1} {4} +\dfrac {1} {4} } \sqrt { (8-8\cos x) + (5+4\cos x) +(5+4\cos x) } = \sqrt { \dfrac {3} {2} } \sqrt {18} = 3\sqrt 3$

με ισότητα όταν $\cos x = - \dfrac {1} {2}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 11, 2023 8:55 am
Άθροισμα διαγωνίων.pngΗ μεγάλη βάση του τραπεζίου είναι διπλάσια της μικρής όπως και η πλευρά ,

ενώ η έχει μεταβλητό μήκος . Βρείτε το μέγιστο άθροισμα των διαγωνίων και .

Έστω

τα μέσα των BC, BD, AC

αντίστοιχα και BD=x, AC=y.

Τα

είναι

παραλληλόγραμμα, οπότε AM=DC, DM=AB=2a.

Θεώρημα διαμέσων στα τρίγωνα ABM, DCM

:

: Άθροισμα διαγωνίων.png (15.67 KiB) Προβλήθηκε 866 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} 10{a^2} = {x^2} + D{C^2} \hfill \\ 2D{C^2} - 2{a^2} = {y^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και με απαλοιφή του DC,

$\boxed{y=\sqrt{18a^2-2x^2}}$

$\displaystyle x + y = f(x) = x + \sqrt {18{a^2} - 2{x^2}} ,0 < x < 3a,$ όπου με παραγώγους βρίσκω ότι η

παρουσιάζει

μέγιστο όταν $\displaystyle 2x = \sqrt {18{a^2} - 2{x^2}} \Leftrightarrow$ $\boxed{x = a\sqrt 3}$ με μέγιστη τιμή $\boxed{f\left( {a\sqrt 3 } \right) = 3a\sqrt 3 }$

abgd · #6

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 11, 2023 5:29 pm

Έστω.... . ....

$\displaystyle x + y = f(x) = x + \sqrt {18{a^2} - 2{x^2}} ,0 < x < 3a,$ όπου με παραγώγους βρίσκω ότι η παρουσιάζει

μέγιστο όταν $\displaystyle 2x = \sqrt {18{a^2} - 2{x^2}} \Leftrightarrow$ $\boxed{x = a\sqrt 3}$ με μέγιστη τιμή $\boxed{f\left( {a\sqrt 3 } \right) = 3a\sqrt 3 }$

Στον τύπο που βρίσκει ο Γιώργος παραπάνω μπορούμε να καταλήξουμε και ως εξής:

Αν $\displaystyle {O}$ το σημείο τομής των διαγωνίων τότε η $\displaystyle {AO}$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle {A}$

Επίσης, από την ομοιότητα των τριγώνων $\displaystyle {AOD, \ \ BOC}$ , έχουμε $\displaystyle {BO=2OD, \ \ CO=2AO}$ .

Αν τώρα θεωρήσουμε γνωστό τον τύπο του μήκους της διχοτόμου $\displaystyle {\delta_a}$ σε τρίγωνο $\displaystyle {ABC}$ , δηλαδή τον τύπο $\displaystyle {\delta_a=\frac{2}{b+c}\sqrt{bc\tau(\tau-a)}}$ ,

ή το κάνουμε αποδεικτικά παίρνοντας νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα $\displaystyle {AOD, \ \ AOB}$ για τις ίσες γωνίες τους $\displaystyle {A}$ ,

θα πάρουμε ότι $\displaystyle {y=\sqrt {18{a^2} - 2{x^2}}}$

mathematica.gr

Άθροισμα διαγωνίων

Άθροισμα διαγωνίων

Re: Άθροισμα διαγωνίων

Re: Άθροισμα διαγωνίων

Re: Άθροισμα διαγωνίων

Re: Άθροισμα διαγωνίων

Re: Άθροισμα διαγωνίων

Μέλη σε σύνδεση