Μέγιστη γωνία 5

KARKAR · #1

: Μέγιστη γωνία 8.png (72.44 KiB) Προβλήθηκε 969 φορές

Σημείο

κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=x^3+x , x\geq 0$ .

Βρείτε τη μέγιστη τιμή της οξείας γωνίας $\vartheta$ , που σχηματίζει η εφαπτομένη στο

με την

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 11, 2019 9:10 am
Μέγιστη γωνία 8.pngΣημείο κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=x^3+x , x\geq 0$ .

Βρείτε τη μέγιστη τιμή της οξείας γωνίας $\vartheta$ , που σχηματίζει η εφαπτομένη στο με την .

: Μέγιστη γωνία.5.png (14.12 KiB) Προβλήθηκε 953 φορές

$\displaystyle \tan \varphi = \frac{{{a^3} + a}}{a} = {a^2} + 1,\tan \omega = f'(a) = 3{a^2} + 1 \Rightarrow$ $\boxed{\tan \theta =g(a)= \frac{{2{a^2}}}{{3{a^4} + 4{a^2} + 2}}}$

$\displaystyle g'(a) = - \frac{{2a(3{a^4} - 2)}}{{{{(3{a^4} + 4{a^2} + 2)}^2}}}, a>0$ οπότε η

παρουσιάζει μέγιστο για $\boxed{a = \sqrt[4]{{\frac{2}{3}}}}$ και είναι

$\boxed{{(\tan \theta )_{\max }} = \frac{{\sqrt 6 }}{2} - 1}$ ( $\displaystyle \theta \simeq 12,66647^\circ$ ).

#3

Καλημέρα και καλή Σαρακοστή σε όλους!

: 11-03-2019 Ανάλυση.jpg (22.86 KiB) Προβλήθηκε 952 φορές

Η συνάρτηση $f(x)=x^3+x, x\ge 0$ είναι παραγωγίσιμη με $\displaystyle f'\left( x \right) = 3{x^2} + 1$ , οπότε για το σημείο $\displaystyle A\left( {a,\;{a^3} + a} \right),\;\;a > 0$ είναι $\displaystyle \varepsilon \varphi \varphi = 3{\alpha ^2} + 1$ και $\displaystyle \varepsilon \varphi \omega = \frac{{{\alpha ^3} + \alpha }}{\alpha } = {\alpha ^2} + 1$

Είναι $\displaystyle \theta = \varphi - \omega \Rightarrow \varepsilon \varphi \theta = \frac{{\varepsilon \varphi \varphi - \varepsilon \varphi \omega }}{{1 + \varepsilon \varphi \varphi \cdot \varepsilon \varphi \omega }} = \frac{{2{\alpha ^2}}}{{1 + \left( {3{\alpha ^2} + 1} \right)\left( {{\alpha ^2} + 1} \right)}} = \frac{{2{\alpha ^2}}}{{3{\alpha ^4} + 4{\alpha ^2} + 2}}$

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = \frac{{2{x^2}}}{{3{x^4} + 4{x^2} + 2}},\;\;x > 0$ είναι παραγωγίσιμη με

$\displaystyle f'\left( x \right) = \frac{{4x\left( {3{x^4} + 4{x^2} + 2} \right) - 2{x^2}\left( {12{x^3} + 8x} \right)}}{{{{\left( {3{x^4} + 4{x^2} + 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 12{x^5} + 8x}}{{{{\left( {3{x^4} + 4{x^2} + 2} \right)}^2}}}$

Με πίνακα μονοτονίας βρίσκουμε ότι έχει μέγιστο για $\displaystyle x = \sqrt[4]{{\frac{2}{3}}}$ την τιμή $\displaystyle f\left( {\sqrt[4]{{\frac{2}{3}}}} \right) = \frac{{\sqrt {\frac{2}{3}} }}{{2\sqrt {\frac{2}{3}} + 2}} \cong 0,2248$ .

Οπότε η μέγιστη τιμή της θ είναι $\displaystyle \theta = \tau o\xi \varepsilon \varphi (0,2248) \simeq 12,67^\circ$ .

edit: Στο λεπτό πρόλαβε ο Γιώργος. Οι απαντήσεις ταυτίζονται, άρα γλυτώνω τον κόπο της επαλήθευσης!

#4

Γιώργο, φαίνεται ότι μαζί πληκτρολογούσαμε. Μάλλον, το $\displaystyle \theta = \tau o\xi \varepsilon \varphi (0,2248)$ σε καθυστέρησε

μερικά δευτερόλεπτα.

Καλή Σαρακοστή σε όλους!

KARKAR · #5

Για να γίνει το θέμα "σχολικότερο" , θα δίναμε τη συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x^3}{k} , x\geq 0 , k>0$ .

Έτσι θα αποφεύγαμε το τοξ(εφ(χ))

#6

Ας είναι $A(a,{a^3} + a)\,\,\,\,,a \geqslant 0$ . Η εφαπτομένη της καμπύλης $f(x) = {x^3} + x$ σ αυτό έχει εξίσωση : $y = f(a) + f'(a)(x - a) \Rightarrow y = {a^3} + a + (3{a^2} + 1)(x - a)$ με κλίση :

${k_1} = 3{a^2} + 1$ , ενώ η κλίση της

είναι ${k_2} = {a^2} + 1$ .

$\boxed{\tan \theta = g(a) = \frac{{|{k_2} - {k_1}|}}{{1 + {k_2}{k_1}}} = \frac{{2{a^2}}}{{1 + ({a^2} + 1)(3{a^2} + 1)}}}$ . Η

παρουσιάζει μεγίστη τιμή για

: Μεγίστη γωνία 5.png (16.02 KiB) Προβλήθηκε 924 φορές

$\boxed{{a_0} = \frac{{\sqrt[4]{{54}}}}{3}}$ .

Τότε η εφαπτομένη της γωνίας $\theta$ , άρα κι η γωνία $\theta$

( αφού η $y = \tan x$ είναι γνήσια αύξουσα στο $[0,\frac{\pi }{2})$ )

θα παρουσιάζει μεγίστη τιμή , $\theta \simeq 12,666469^\circ$

Μια από τα ίδια .

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 11, 2019 10:21 am
Για να γίνει το θέμα "σχολικότερο" , θα δίναμε τη συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x^3}{k} , x\geq 0 , k>0$ .

Έτσι θα αποφεύγαμε το τοξ(εφ(χ))

Σε αυτή την περίπτωση, ακολουθώντας την ίδια διαδικασία για το σημείο $\displaystyle A\left( {a,\frac{{{a^3}}}{k}} \right),$

βρίσκουμε μέγιστο για $\boxed{a = \sqrt[4]{{\frac{{{k^2}}}{3}}}}$ και $\boxed{{\theta _{\max }} = 30^\circ }$

Μέγιστη γωνία 5

Μέγιστη γωνία 5

Re: Μέγιστη γωνία 5

Re: Μέγιστη γωνία 5

Re: Μέγιστη γωνία 5

Re: Μέγιστη γωνία 5

Re: Μέγιστη γωνία 5

Re: Μέγιστη γωνία 5

Μέλη σε σύνδεση