Σταθερός λόγος

KARKAR · #1

: σταθερός λόγος.png (62.68 KiB) Προβλήθηκε 625 φορές

$\bigstar$ Για k>0 , a>1

, ορίζω την συνάρτηση : f(x)=kx^a , x>0

. Σε τυχόν σημείο

της $C_{f}$ ,

φέρω εφαπτομένη και κάθετη προς τον x'x

, οι οποίες τον τέμνουν στα σημεία S, A'

αντίστοιχα .

Δείξτε ότι ο λόγος $\dfrac{OS}{SA'}$ είναι σταθερός .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 22, 2021 10:19 am
σταθερός λόγος.png $\bigstar$ Για , ορίζω την συνάρτηση : . Σε τυχόν σημείο της $C_{f}$ ,

φέρω εφαπτομένη και κάθετη προς τον , οι οποίες τον τέμνουν στα σημεία αντίστοιχα .

Δείξτε ότι ο λόγος $\dfrac{OS}{SA'}$ είναι σταθερός .

...μια λύση...

Είναι η f(x)=kx^a , x>0

παραγωγίσιμη με ${f}'(x)=\alpha k{{x}^{a-1}},x>0$ και η εφαπτομένη σε τυχαίο σημείοο

$({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))$ με ${{x}_{0}}>0$ έχει εξίσωση την

$y-f({{x}_{0}})={f}'\left( {{x}_{0}} \right)(x-{{x}_{0}})$ και τέμνει τον {x}'x

στο

οπότε είναι

$0-f({{x}_{0}})={f}'\left( {{x}_{0}} \right)(s-{{x}_{0}})\Leftrightarrow -kx_{0}^{a}=\alpha kx_{0}^{a-1}(s-{{x}_{0}})$ ή

$x_{0}^{a}=\alpha x_{0}^{a-1}({{x}_{0}}-s)\Leftrightarrow {{x}_{0}}=a({{x}_{0}}-s)\Leftrightarrow \frac{{{x}_{0}}}{{{x}_{0}}-s}=a\Leftrightarrow \frac{s}{{{x}_{0}}-s}=\frac{a-1}{a}$

ή $\frac{OS}{S{A}'}=\frac{a-1}{a}$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Σταθερός λόγος

Σταθερός λόγος

Re: Σταθερός λόγος

Μέλη σε σύνδεση