Το άλλο άκρο

KARKAR · #1

: Το άλλο άκρο.png (17.21 KiB) Προβλήθηκε 631 φορές

Για την : $f(x)= x+1+\sqrt{x^2+x+1}$ , αν εφαρμόσουμε το Θ.Μ.Τ. στο διάστημα

$[-3 \:, \:2\:]$ , θα βρούμε ότι το $\xi$ είναι το κέντρο του διαστήματος , δηλαδή : $\xi=-\dfrac{1}{2}$ .

Βρείτε - με πλήρη αιτιολόγηση - την σχέση που πρέπει να συνδέει τα a , b , ( a < b)

, ώστε

για το προκύπτον $\xi$ του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα $[\:a \:, \:b\:]$ , να ισχύει : $\xi=\dfrac{a+b}{2}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 06, 2021 9:38 pm
Το άλλο άκρο.pngΓια την : $f(x)= x+1+\sqrt{x^2+x+1}$ , αν εφαρμόσουμε το Θ.Μ.Τ. στο διάστημα

$[-3 \:, \:2\:]$ , θα βρούμε ότι το $\xi$ είναι το κέντρο του διαστήματος , δηλαδή : $\xi=-\dfrac{1}{2}$ .

Βρείτε - με πλήρη αιτιολόγηση - την σχέση που πρέπει να συνδέει τα , ώστε

για το προκύπτον $\xi$ του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα $[\:a \:, \:b\:]$ , να ισχύει : $\xi=\dfrac{a+b}{2}$ .

H συνθήκη $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$ γράφεται, για $\xi=\dfrac{a+b}{2}$ ,

$\displaystyle{b+1+\sqrt {b^2+b+1} -a-1-\sqrt {a^2+a+1} = \left ( 1+ \dfrac {1}{2}\dfrac {2 \xi +1}{\sqrt { \xi ^2+\xi +1}}\right ) (b-a) }$ , ή

$\displaystyle{\left (1+ \dfrac {b+a+1}{\sqrt {b^2+b+1}+\sqrt {a^2+a+1} \right ) (b-a) = \left ( 1+ \dfrac {1}{2}\dfrac {a+b+1}{\sqrt { \left (\frac {a+b}{2}\right ) ^2+ \frac {a+b}{2}+1}}\right ) (b-a) }$ , ή

$\displaystyle{ \dfrac {b+a+1}{\sqrt {b^2+b+1}+\sqrt {a^2+a+1}}= \dfrac {a+b+1}{2\sqrt { \left (\frac {a+b}{2}\right ) ^2+ \frac {a+b}{2}+1}}}$

Έπεται $\boxed {a+b+1=0}$

Υπόψη ότι από κυρτότητα οι παρονομαστές δεν είναι ποτέ ίσοι για $a\ne b$ . Ας το δούμε λεπτομερέστερα: Θα είχαμε

$\displaystyle{ \frac {1}{2}(\sqrt {b^2+b+1}+\sqrt {a^2+a+1}) = \sqrt { \left (\frac {a+b}{2}\right ) ^2+ \frac {a+b}{2}+1}}$

Αλλά η συνάρτηση $h(x)= \sqrt {x^2+x+1}$ έχει $h''(x) = \dfrac {3}{4(x^2+x+1)^{3/2}} >0$ , δηλαδή είναι γνήσια κυρτή. Έτσι από Jensen έχουμε $\frac {1}{2} (h(a)+h(b) ) \le h(\frac {a+b}{2})$ με ισότητα αν και μόνον αν a=b

, όπως θέλαμε.

Το άλλο άκρο

Το άλλο άκρο

Re: Το άλλο άκρο

Μέλη σε σύνδεση