Μελέτη Ορίου IV

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f\colon(0,1)\to\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει
$f^\prime(x)=\sqrt{\frac{1}{\sqrt{1-x}}-\eta\mu^2\frac{1}{1-x}}$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$

Να αποδειχθεί ότι $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)\in\mathbb{R}$

Dimessi · #2

Σταθεροποιώντας ένα 0<a<1

έχουμε $\displaystyle f(x)=f\left ( a \right )+\int \limits_{a}^{x} f'\left ( t \right )dt\leq f\left ( a \right )+\int \limits_{a}^{x}\left ( 1-t \right )^{-1/4}dt=f\left ( a \right )+\frac{4}{3}\left ( \left ( 1-x \right )^{3/4}-\left ( 1-a \right )^{3/4} \right ) \left (\ast \right)$

για κάθε $x\in \left (a,1 \right)$

Όμως για κάθε $x\in \left (0,1 \right )$ ισχύει $\displaystyle q=\frac{1}{1-x}\in \left ( 1, +\infty \right)$ οπότε $\displaystyle f'\left ( x \right )=\sqrt{\sqrt{q}-\sin ^{2}q}\geqslant \sqrt{\sqrt{q}-1}> 0$
οπότε

γνήσια αύξουσα και λόγω συνέχειας το όριο $\displaystyle \lim_{x \to 1^{-}}f\left ( x \right )$ υπάρχει,έστω

Παίρνοντας τώρα στην $\left (\ast \right)$ όριο $x\rightarrow 1^{-}$ έχουμε $\displaystyle L\leq f\left ( a \right )-\frac{4}{3}\left ( 1-a \right )^{3/4} \left(\ast \ast \right)$

Έστω, προς άτοπο, ότι $L\notin \mathbb{R}$ τότε από $\left (\ast \ast \right)$ έχουμε $L=-\infty$ και άρα για τη συνεχή και γνήσια αύξουσα

ισχύει $\displaystyle f\left ( x \right )< \displaystyle \lim_{x \to 1^{-}}f\left ( x \right )=-\infty$ για κάθε $x\in \left (0,1 \right )$ που είναι άτοπο.
Τελειώσαμε.

#3

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 14, 2025 7:49 am
Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f\colon(0,1)\to\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει
$f^\prime(x)=\sqrt{\frac{1}{\sqrt{1-x}}-\eta\mu^2\frac{1}{1-x}}$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$

Να αποδειχθεί ότι $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)\in\mathbb{R}$

Aφού

για κάθε $x\in (0,1)$ , σημαίνει ότι η

είναι γνήσια αύξουσα. Επίσης είναι $f'(x)\le \sqrt{\frac{1}{\sqrt{1-x}}-0} = (1-x)^{-1/4}$ , άρα

$\displaystyle{f(x) \le f\left (\dfrac {1}{2} \right ) + \int _{1/2} ^x (1-t)^{-1/4}dt = f\left (\dfrac {1}{2} \right ) + \dfrac {4}{3}\left [\left (1-\dfrac {1}{2} \right ) ^{3/4} - (1-x)^{3/4} \right ] \le f\left (\dfrac {1}{2} \right ) +\dfrac {4}{3}\left (\dfrac {1}{2} \right )^{3/4} }$ .

Ειδικά, η

είναι άνω φραγμένη.

Έπεται ότι το $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)$ είτε υπάρχει (είναι πραγματικός αριθμός) ή είναι $+\infty$ . Αλλά δεν είναι $+\infty$ αφού η

είναι άνω φραγμένη. Συνοψίζοντας, $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)\in\mathbb{R}$ ,

Μελέτη Ορίου IV

Μελέτη Ορίου IV

Re: Μελέτη Ορίου IV

Re: Μελέτη Ορίου IV

Μέλη σε σύνδεση