Συνέπειες Θ.Μ.Τ.

Sifis · #1

Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f,g:[0,+\infty)\rightarrow R$ με $f(x)\cdot g(x)\neq 0, x\in [0,+\infty)$ και f(0)=g(0)=1

. Επιπλέον, για $x\geq 0$ ισχύουν $f'(x)+f^{2}(x)\cdot g(x)=0$ και $g'(x)+g^{2}(x)\cdot f(x)=0$ , να βρείτε τις

και

. Είναι μία άσκηση από το βιβλίο του Μπάρλα (35 σελ. 90) η οποία με έχει ταλαιπωρήσει......

#2

Υπόδειξη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Αλέξανδρος

#3

Θέτω $\displaystyle{1/f=u,1/g=v}$ τότε $\displaystyle{u'=1/v,v'=1/u}$ αρα $\displaystyle{u'v-v'u=0}$ οπότε $\displaystyle{ u=cv}$ ή $\displaystyle{f=cg}$ και επει΄δή $\displaystyle{f(0)=g(0)}$ θα είναι $\displaystyle{f=g}$ αρα $\displaystyle{f'/f^3=-1}$ δηλαδή $\displaystyle{(f^{-2})'=(2x)'}$ και αφού η f διατηρεί στ. πρόσημο και $\displaystyle{f(0)=1}$ θα είναι $\displaystyle{f(x)=g(x)=1/\sqrt{2x+1},x\ge 0}$

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #4

Αρχικά απο τις σχέσεις έχουμε πως $\displaystyle{f'(x) \ne 0,g'(x) \ne 0,\forall x \in [0, + \infty )}$
Πολλαπλασιάζοντας την 1η με $\displaystyle{f(x)}$ και την δεύτερη με $\displaystyle{g(x)}$ και διαιρώντας τις σχέσεις έχουμε $\displaystyle{\frac{{f'(x)f(x)}}{{g'(x)g(x)}} = \frac{{ - f^3 (x)g(x)}}{{ - g^3 (x)f(x)}} \Leftrightarrow \frac{{f'(x)f(x)}}{{g'(x)g(x)}} = \frac{{f^2 (x)}}{{g^2 (x)}} \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{f'(x)f(x)g^2 (x) - g'(x)g(x)f^2 (x) = 0 \Leftrightarrow 2f'(x)f(x)g^2 (x) - 2g'(x)g(x)f^2 (x) = 0 \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{\left( {\frac{{f^2 (x)}}{{g^2 (x)}}} \right) = 0 \Rightarrow \frac{{f^2 (x)}}{{g^2 (x)}} = c_1 \Rightarrow f^2 (x) = c_1 g^2 (x)\mathop \Rightarrow \limits^{\scriptstyle x = 0 \hfill \atop \scriptstyle c_1 = 0 \hfill} f^2 (x) = g^2 (x)}$

Οπότε οι σχέσεις γίνονται $\displaystyle{f'(x) + g^3 (x) = 0}$ και $\displaystyle{g'(x) + g^3 (x) = 0}$ , οπότε
$\displaystyle{f'(x) = g'(x) \Rightarrow f(x) = g(x) + c_1 \mathop \Rightarrow \limits^{\scriptstyle x = 0 \hfill \atop \scriptstyle c_2 = 0 \hfill} f(x) = g(x)}$
Τώρα έχουμε $\displaystyle{ f'(x) + f^3 (x) = 0 \Rightarrow f'(x)f(x) = - f^4 (x) \Rightarrow \frac{{ - 2f'(x)f(x)}}{{f^4 (x)}} = 2 \Rightarrow \left( {\frac{1}{{f^2 (x)}}} \right)^\prime = 2 \Rightarrow }$
$\displaystyle{\frac{1}{{f^2 (x)}} = 2x + c\mathop \Rightarrow \limits^{\scriptstyle x = 0 \hfill \atop \scriptstyle c = 1 \hfill} \frac{1}{{f^2 (x)}} = 2x + 1 \Rightarrow f^2 (x) = \frac{1}{{2x + 1}}}$
Αφού δικαιολογήσουμε το σταθερό πρόσημο έχουμε $\displaystyle{f(x) = g(x) = \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }},x \ge 0}$ , οι οποίες επάληθεύουν τις ασχικές σχέσεις.

Sifis · #5

manos66 · #6

Από συνέπειες Θ.Bolzano είναι f(x)>0 και g(x)>0
Πολλαπλασιάζοντας την 1η με g (x) και τη 2η με f (x) έχουμε
f'(x)g(x) = g'(x)f(x) = -f^2(x)g^2(x)

$\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{g'(x)}{g(x)}\Leftrightarrow \left[ ln(f(x))\right]' = \left[ ln(g(x))\right]'$
ln(f(x))= ln(g(x))+c

Για x = 0, έχουμε c = 0
$ln(f(x))= ln(g(x))\Leftrightarrow f(x)=g(x)$

mathxl · #7

viewtopic.php?f=53&t=11371

Συνέπειες Θ.Μ.Τ.

Συνέπειες Θ.Μ.Τ.

Re: Συνέπειες Θ.Μ.Τ.

Re: Συνέπειες Θ.Μ.Τ.

Re: Συνέπειες Θ.Μ.Τ.

Re: Συνέπειες Θ.Μ.Τ.

Re: Συνέπειες Θ.Μ.Τ.

Re: Συνέπειες Θ.Μ.Τ.

Μέλη σε σύνδεση