Διαφορικός Λογισμός

Rafaelcrete · #1

Έστω συνάρτηση $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι εξής συνθήκες f(0)=2,f(1)=1,f'(0)=-2

.Να δείξετε ότι υπάρχει $t\in (0,1)$ τέτοιο ώστε f'(t)f(t)+f''(t)=0

.

dement · #2

Θέτουμε $\displaystyle g(x) \equiv \frac{f(x)^2}{2} + f'(x)$ και παρατηρούμε ότι g(0) = 0

. Αρκεί να βρούμε $\xi \in (0,1]$ με $g(\xi) = 0$ γιατί τότε, από το θεώρημα Rolle, υπάρχει $\xi' \in (0, \xi)$ με $g'(\xi') = f(\xi') f'(\xi') + f''(\xi') = 0$ .

Αν η

έχει ρίζες στο (0,1)

τότε έστω $x_1, x_2 \in (0,1)$ η ελάχιστη ρίζα και το ολικό ελάχιστο της

αντίστοιχα. Αφού $g(x_1) \leqslant 0, g(x_2) \geqslant 0$ έχουμε το επιθυμητό $\xi \in [x_1, x_2]$ .

Αν η

δεν έχει ρίζες στο (0,1)

, ορίζουμε $\displaystyle h(x) \equiv \frac{1}{f(x)} - \frac{x}{2}$ και παρατηρούμε ότι h(0) = h(1)

. Έτσι υπάρχει $\xi \in (0,1)$ με $h'(\xi) = 0 \implies g(\xi) = 0$ .

#3

Λίγο διαφορετικα

Θέτουμε
$\displaystyle{g(x)=f^2(x)+2f(x)}$
Α) $\displaystyle{f(x)\ne 0 \forall x \in [0,1]}$ τότε η $\displaystyle{h}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{[0,1]}$ και $\displaystyle{h(0)=h(1)=-1/2}$ άρα υπάρχει $\displaystyle{a}$ στο $\displaystyle{[0,1] :h'(a)=0 \Rightarrow \frac{1}{2}=-\frac{f'(a)}{f^2(a)}\Rightarrow g(a)=0}$ και επειδή $\displaystyle{g(0)=0 }$ πάλι με Rolle για την $\displaystyle{g}$ στο $\displaystyle{[0,a],}$ άρα και στο $\displaystyle{[0,1],}$ προκύπτει εύκολα το ζητούμενο
Β) Να υπάρχει μοναδικό $\displaystyle{x_0\in (0,1)}$ ώστε $\displaystyle{f(x_0)=0}$ τότε η f δεν μπορεί να αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του $\displaystyle{x_0}$ αφού $\displaystyle{f(0)f(1)>0}$ και $\displaystyle{x_0}$ μοναδικό. Όμως τότε $\displaystyle{f(x)\ge f(x_0)=0}$ διότι $\displaystyle{f(1)=1>0=f(x_0),f(0)=2>0=f(x_0)}$ και
$\displaystyle{\lim_{x\to x_0+}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\ge 0 \ge \lim_{x\to x_0-}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}}$
άρα $\displaystyle{f'(x_0)=0}$ οπότε και πάλι με Rolle στο $\displaystyle{[0,x_0]}$ το ζητούμενο
Γ) η f να έχει δυο τουλάχιστον ρίζες και έστω $\displaystyle{x_1,x_2}$ η πρώτη και η τελευταία από αυτές( η ύπαρξη πρώτης και τελευταίας τεκμηριώνεται από το γεγονός ότι υπάρχουν τουλάχιστον δυο στο $\displaystyle{[0,1]}$ και η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής με $\displaystyle{f(x)\ne 0 }$ κοντά στο 0 και στο 1)
Τότε θα ισχύουν $\displaystyle{f(x)>f(x_1)=0}$ για $\displaystyle{x<x1}$ , $\displaystyle{x}$ κοντά στο $\displaystyle{x_1}$ και $\displaystyle{f(x)>f(x_2)=0}$ για $\displaystyle{x>x2}$ , $\displaystyle{x}$ κοντά στο $\displaystyle{x_2}$
Με τον ορισμό της παραγώγου (ως πλευρικό όριο τώρα) βλέπουμε ότι θα είναι $\displaystyle{f'(x_1)<0,f'(x_2)>0}$
Αλλά τότε $\displaystyle{g(x_1)g(x_2)<0}$ .Αρα από το θεώρημα Bolzano θα υπάρχει $\displaystyle{ b }$ στο $\displaystyle{(x1,x2) : g(b)=0.}$ Rolle και πάλι για την $\displaystyle{g}$ στο $\displaystyle{ [0,b] }$ δίνει το ζητούμενο.

Διαφορικός Λογισμός

Διαφορικός Λογισμός

Re: Διαφορικός Λογισμός

Re: Διαφορικός Λογισμός

Μέλη σε σύνδεση