Τριγωνομετρική ανισότητα

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί x,y

για τους οποίους ισχύουν:
$\bullet\ 0<x<\dfrac{\pi-y}{2}$
$\bullet\ 0<y<\pi$

Να αποδειχθεί η ανισότητα:
$\sigma\varphi x-\sigma\varphi (y+x)> 2\cdot\varepsilon\varphi\dfrac{y}{2}$

vgreco · #2

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 30, 2024 1:17 am
Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:
$\bullet\ 0<x<\dfrac{\pi-y}{2}$
$\bullet\ 0<y<\pi$

Να αποδειχθεί η ανισότητα:
$\sigma\varphi x-\sigma\varphi (y+x)> 2\cdot\varepsilon\varphi\dfrac{y}{2}$

Για τυχόν $y \in (0, \pi)$ θεωρώ τη συνάρτηση:

$\displaystyle{ f: \biggl(0, \dfrac{\pi - y}{2}\biggr) \to \mathbb{R} \quad \textgr{\greektext \text{με}} \quad f(x) = \cot x - \cot ( x+ y) - 2 \tan \dfrac{y}{2} }$
Αυτή, έχει παράγωγο:

$\displaystyle{ f'(x) = -\dfrac{1}{\sin ^2 x} + \dfrac{1}{\sin^2 (x + y)} = \dfrac{\sin^2 x - \sin^2 (x + y)}{\sin^2 x \cdot \sin^2(x + y)} }$
η οποία είναι προφανώς αρνητική στο πεδίο ορισμού της, καθώς:

$\displaystyle{ \begin{aligned} f'(x) < 0 &\Leftrightarrow \bigl[\sin(x + y) - \sin x\bigr] \bigl[\sin(x + y) + \sin x\bigr] > 0 \\[0.1in] &\Leftrightarrow 2 \sin \dfrac{y}{2} \cos\dfrac{2x + y}{2} \cdot 2 \sin\dfrac{2x + y}{2} \cos \dfrac{y}{2} > 0 \\[0.1in] &\Leftrightarrow \underbrace{\sin y}_{> \; 0} \cdot \sin (\underbrace{2x + y}_{< \; \pi}) > 0 \end{aligned} }$
Τούτο βέβαια σημαίνει πως η

είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της. Επειδή, τέλος:

$\displaystyle{ \lim_{x \to \frac{\pi - y}{2}} f(x) = \cot\biggl( \dfrac{\pi - y}{2} \biggr) - \cot\biggl( \dfrac{\pi - y}{2} + y \biggr) - 2\tan \dfrac{y}{2} = \cot\biggl( \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{y}{2} \biggr) - \cot\biggl( \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{y}{2} \biggr) - 2\tan \dfrac{y}{2} = 0 }$
έπεται ότι το

είναι κάτω φράγμα της

και αφού το

ήταν τυχόν η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

hazmatanything · #3

vgreco έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 08, 2024 3:43 pm

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 30, 2024 1:17 am
Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:
$\bullet\ 0<x<\dfrac{\pi-y}{2}$
$\bullet\ 0<y<\pi$

Να αποδειχθεί η ανισότητα:
$\sigma\varphi x-\sigma\varphi (y+x)> 2\cdot\varepsilon\varphi\dfrac{y}{2}$
Για τυχόν $y \in (0, \pi)$ θεωρώ τη συνάρτηση:

$\displaystyle{ f: \biggl(0, \dfrac{\pi - y}{2}\biggr) \to \mathbb{R} \quad \textgr{\greektext \text{με}} \quad f(x) = \cot x - \cot ( x+ y) - 2 \tan \dfrac{y}{2} }$
Αυτή, έχει παράγωγο:

$\displaystyle{ f'(x) = -\dfrac{1}{\sin ^2 x} + \dfrac{1}{\sin^2 (x + y)} = \dfrac{\sin^2 x - \sin^2 (x + y)}{\sin^2 x \cdot \sin^2(x + y)} }$
η οποία είναι προφανώς αρνητική στο πεδίο ορισμού της, καθώς:

$\displaystyle{ \begin{aligned} f'(x) < 0 &\Leftrightarrow \bigl[\sin(x + y) - \sin x\bigr] \bigl[\sin(x + y) + \sin x\bigr] > 0 \\[0.1in] &\Leftrightarrow 2 \sin \dfrac{y}{2} \cos\dfrac{2x + y}{2} \cdot 2 \sin\dfrac{2x + y}{2} \cos \dfrac{y}{2} > 0 \\[0.1in] &\Leftrightarrow \underbrace{\sin y}_{> \; 0} \cdot \sin (\underbrace{2x + y}_{< \; \pi}) > 0 \end{aligned} }$
Τούτο βέβαια σημαίνει πως η είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της. Επειδή, τέλος:

$\displaystyle{ \lim_{x \to \frac{\pi - y}{2}} f(x) = \cot\biggl( \dfrac{\pi - y}{2} \biggr) - \cot\biggl( \dfrac{\pi - y}{2} + y \biggr) - 2\tan \dfrac{y}{2} = \cot\biggl( \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{y}{2} \biggr) - \cot\biggl( \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{y}{2} \biggr) - 2\tan \dfrac{y}{2} = 0 }$ geometry dash world

έπεται ότι το είναι κάτω φράγμα της και αφού το ήταν τυχόν η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Τριγωνομετρική ανισότητα

Τριγωνομετρική ανισότητα

Re: Τριγωνομετρική ανισότητα

Re: Τριγωνομετρική ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση