Υπαρξιακή .

#1

Δίνεται η f παραγωγίσιμη στο [0, 1] με f ΄ συνεχής στο [0 ,1] και f ΄(0) > 0.
Να δείξετε ότι υπάρχει ξ του (0,1) ώστε f΄(ξ)=2ξ αν f(1)-f(0)=1/2.
Αφήστε την άλυτη καμία ωρίτσα

.

johnbausis · #2

ΘΜΤ για g(x)=f(x)-x^2 στο (0,1) και Θ.Βolzano για την h(x)=f΄(χ)-2χ στο (0,χ0) οπου χο το σημείο του ΘΜΤ

#3

Δεν νομιζω οτι ειναι τοσο απλη......
Μια αναλυτικη λυση ;;;;;;

johnbausis έγραψε:ΘΜΤ για g(x)=f(x)-x^2 στο (0,1) και Θ.Βolzano για την h(x)=f΄(χ)-2χ στο (0,χ0) οπου χο το σημείο του ΘΜΤ

#4

5Β9 σελ 114 εδώ

#5

Τώρα που την βλέπω ροδόλφε εχεις δίκιο( άντε να σε πείσω οτι αλλίως μου προέκυψε ) αλλά η υπόδειξη που δίνεις δεν νομίζω να δουλεύει, Άρα έχουμε μία νέα άσκηση, στην δικία σου όπως φαίνεται απο την 5Β10 ,΄(απο τυπογραφικό) έπρεπε να εχες f(0)-f(1)=1/2.
Περιμένω λύση αναλυτική ..

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

R BORIS έγραψε:5Β9 σελ 114 εδώ

mathfinder · #6

Η συνάρτηση $g(x)=f(x)-\frac{x^{2}}{2}$ είναι συνεχής στο[0,1] , παραγωγίσιμη στο (0,1) με
g{'}(x)=f{'}(x)-x

και g(0)=g(1)=f(0) . Άρα από Θ.Rolle υπάρχει $\rho \in (0,1)$ ώστε $g{'}\left(\rho \right)=0\Rightarrow f{'}\left(\rho \right)=\rho$
Η συνάρτηση $h\left(x \right)=f{'}\left(x \right)-2x , x\in [0,1]$ είναι συνεχής στο [0,ρ] , h(0)=f '(0)> 0 , h(ρ)=f ' (ρ)-2ρ=-ρ <0 . Άρα από θ. Bolzano υπάρχει $\xi \in \left(0,\rho \right)$ ώστε h(ξ)=0 δηλαδή f ' (ξ)=2ξ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#7

Σωστά .

Και νόμιζα οτι ανακάλυψα την Αμερική ...αρε Μπάμπη...

mathfinder έγραψε:Η συνάρτηση $g(x)=f(x)-\frac{x^{2}}{2}$ είναι συνεχής στο[0,1] , παραγωγίσιμη στο (0,1) με
και g(0)=g(1)=f(0) . Άρα από Θ.Rolle υπάρχει $\rho \in (0,1)$ ώστε $g{'}\left(\rho \right)=0\Rightarrow f{'}\left(\rho \right)=\rho$
Η συνάρτηση $h\left(x \right)=f{'}\left(x \right)-2x , x\in [0,1]$ είναι συνεχής στο [0,ρ] , h(0)=f '(0)> 0 , h(ρ)=f ' (ρ)-2ρ=-ρ <0 . Άρα από θ. Bolzano υπάρχει $\xi \in \left(0,\rho \right)$ ώστε h(ξ)=0 δηλαδή f ' (ξ)=2ξ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Υπάρχει και στο βιβλίο του Χαρ. Στεργίου Γ2 άσκηση 1.54 , σελίδα 39)

#8

από ΘΜT στην $\displaystyle{f(x)-x^2}$ είναι $\displaystyle{f(1)-1-f(0)=(1-0)(f'(u) -2u)}$ ,άρα $\displaystyle{-1/2=f'(u)-2u<0}$ με $\displaystyle{u\in (0,1)}$ ακόμη $\displaystyle{f'(0)-2.0=f'(0)>0}$ με Βolzano στο , $\displaystyle{(0,u)}$ ...

(εντάξει μου φαίνεται η υπόδειξη , Τι λες Κώστα? )

#9

΄Εχεις δίκιο!!!

R BORIS έγραψε:από ΘΜT στην $\displaystyle{f(x)-x^2}$ είναι $\displaystyle{f(1)-1-f(0)=(1-0)(f'(u) -2u)}$ ,άρα $\displaystyle{-1/2=f'(u)-2u<0}$ με $\displaystyle{u\in (0,1)}$ ακόμη $\displaystyle{f'(0)-2.0=f'(0)>0}$ με Βolzano στο , $\displaystyle{(0,u)}$ ...

(εντάξει μου φαίνεται η υπόδειξη , Τι λες Κώστα? )

Υπαρξιακή .

Υπαρξιακή .

Re: Υπαρξιακή .

Re: Υπαρξιακή .

Re: Υπαρξιακή .

Re: Υπαρξιακή .

Re: Υπαρξιακή .

Re: Υπαρξιακή .

Re: Υπαρξιακή .

Re: Υπαρξιακή .

Μέλη σε σύνδεση