Απορία για τη συνέχεια της αντίστροφης

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

PanosG
Δημοσιεύσεις: 458
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 10, 2009 2:47 pm
Τοποθεσία: Άρτα

Απορία για τη συνέχεια της αντίστροφης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από PanosG » Τρί Φεβ 15, 2011 10:01 pm

Θα ήθελα να δω την προσέγγισή σας σας για το τρίτο ερώτημα της παρακάτω άσκησης μιας και έχω κάποιες απορίες με το τρόπο που την έχω δεί λυμένη απο το συγγραφέα.

Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} και η συνάρτηση g: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} ώστε να ισχύει η σχέση
f(g(x))=e^x
α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα
β) Να δείξετε ότι η g δεν έχει μέγιστο ούτε ελάχιστο
γ) Αν g συνεχής στο \mathbb{R} και έχει σύνολο τιμών το \mathbb{R} να δείξετε ότι
Η συνάρτηση g^{-1} είναι συνεχής στο \mathbb{R} (έστω και γραφικά)


Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης
k-ser
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Re: Απορία για τη συνέχεια της αντίστροφης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από k-ser » Τετ Φεβ 16, 2011 12:38 am

PanosG έγραψε:Θα ήθελα να δω την προσέγγισή σας σας για το τρίτο ερώτημα της παρακάτω άσκησης μιας και έχω κάποιες απορίες με το τρόπο που την έχω δεί λυμένη απο το συγγραφέα.

Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} και η συνάρτηση g: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} ώστε να ισχύει η σχέση
f(g(x))=e^x
α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα
β) Να δείξετε ότι η g δεν έχει μέγιστο ούτε ελάχιστο
γ) Αν g συνεχής στο \mathbb{R} και έχει σύνολο τιμών το \mathbb{R} να δείξετε ότι
Η συνάρτηση g^{-1} είναι συνεχής στο \mathbb{R} (έστω και γραφικά)
Παναγιώτη, δεν καταλαβαίνω το νόημα του γ) ερωτήματος.

Υπάρχει απόδειξη της συνέχειας της αντίστροφης της \displaystyle g ανεξάρτητα από τη σχέση που έχει η \displaystyle g με την \displaystyle f και βέβαια η γραφική αναπαράσταση αυτής της συνέχειας είναι... απλοϊκά απλή!

Αυτό που φαντάζομαι θα ήταν καλό ερώτημα είναι η απόδειξη της συνέχειας της \displaystyle f^{-1}

Καλό βράδυ.


Κώστας Σερίφης
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Απορία για τη συνέχεια της αντίστροφης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Κυρ Νοέμ 27, 2011 1:29 pm

k-ser έγραψε: ...
Αυτό που φαντάζομαι θα ήταν καλό ερώτημα είναι η απόδειξη της συνέχειας της \displaystyle f^{-1}
Μια ερώτηση για να δω αν στέκει ο συλλογισμός:

\displaystyle{f(g(x))=e^x>0 \Rightarrow lnf(g(x))=lne^x \Rightarrow  lnf(g(x))=x } για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}}

Αποδεικνύεται εύκολα πως \displaystyle{lnf(x)=g^{-1}(x)} με πεδίο ορισμού το \displaystyle{ \mathbb{R}} λόγω του (γ).

Από ένα παλιό θεώρημα έχουμε πως η αντίστροφη συνεχούς και γνησίως μονότονης συνάρτησης σε διάστημα
είναι συνεχής συνάρτηση οπότε \displaystyle{g^{-1}} συνεχής στο \displaystyle{ \mathbb{R}} .

\displaystyle{lnf(x)=g^{-1}(x) \Rightarrow e^{lnf(x)}=e^{g^{-1}(x)}\Rightarrow f(x)=e^{g^{-1}(x)}}

οπότε η \displaystyle{f} είναι συνεχής στο \displaystyle{ \mathbb{R}} ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων \displaystyle{e^{x}} και \displaystyle{g^{-1}(x)}

τέλος η \displaystyle{f^{-1}} είναι συνεχής ως αντίστροφη συνεχούς και γνησίως μονότονης πάλι από το παραπάνω παλιό θεώρημα.

Ο παραπάνω συλλογισμός για την συνέχεια των \displaystyle{f,f^{-1}} είναι σωστός;


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2178
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Απορία για τη συνέχεια της αντίστροφης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Κυρ Νοέμ 27, 2011 5:21 pm

Νομίζω πως ναί


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: abgd και 1 επισκέπτης