Άσκηση: Γραμμικός συνδιασμός τιμών της παραγώγου.

wavelet · #1

Μια άσκηση για διαγώνισμα

Έστω

συνεχής στο $[0,\pi]$ , παραγωγίσημη στο $(0,\pi)$ και $f(\pi) = f(0) + \dfrac{\pi^{3}}{\pi+e}$ .

Να αποδείξετε 'οτι υπάρχουν $\xi_{1},\xi_{2} \in (0,\pi)$ τέτοια ώστε

$\pi f{'}(\xi_{1}) + ef{'}(\xi_{2}) = \pi^{2}$

#2

wavelet έγραψε:Μια άσκηση για διαγώνισμα

Έστω συνεχής στο $[0,\pi]$ , παραγωγίσημη στο $(0,\pi)$ και $f(\pi) = f(0) + \dfrac{\pi^{3}}{\pi+e}$ .

Να αποδείξετε 'οτι υπάρχουν $\xi_{1},\xi_{2} \in (0,\pi)$ τέτοια ώστε

$\pi f{'}(\xi_{1}) + ef{'}(\xi_{2}) = \pi^{2}$

Παίρνουμε $\xi _1= \xi _2 = \xi$ όπου $\xi$ η τιμή που δίνει το ΘΜΤ στην ισότητα $\displaystyle{\dfrac{\pi^{3}}{\pi+e}=f(\pi) -f(0) = (\pi - 0) f{'}(\xi)}$ . Η τελευταία γράφεται
$\pi f{'}(\xi) + ef{'}(\xi) = \pi^{2}$ , όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

Ιστοσελίδα · #3

Μεταξύ των σημείων A(0)

και $B(\pi)$ επιλέγουμε σημείο C(k)

ώστε $\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{\pi}{e}$ .

Τότε: $\dfrac{k-0}{\pi-k}=\dfrac{\pi}{e} \Leftrightarrow k=\dfrac{\pi^2}{e+\pi}$ .

Εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής στα διαστήματα [0 , k]

και $[k , \pi]$ .

Έτσι υπάρχουν $\xi_1\in (0,k)$ και $\xi_2\in (k,\pi)$ με

$\pi f^{\prime}(\xi_1)+e f^{\prime}(\xi_2)=\pi\dfrac{f(k)-f(0)}{k-0}+e\dfrac{f(\pi)-f(k)}{\pi -k}=\pi\dfrac{f(k)-f(0)}{\frac{\pi^2}{e+\pi}}+e\dfrac{f(\pi)-f(k)}{\frac{e\pi}{e+\pi}}=$

$\dfrac{e+\pi}{\pi}[f(k)-f(0)+f(\pi)-f(k)] = \dfrac{e+\pi}{\pi}\cdot \dfrac{\pi^3}{e+\pi} = \pi^2.$

wavelet · #4

Ευχαριστώ για τις λύσεις, ομολογώ ότι η προσέγγιση του κ. Λάμπρου ούτε που μου είχε περάσει από το μυαλό!

Άσκηση: Γραμμικός συνδιασμός τιμών της παραγώγου.

Άσκηση: Γραμμικός συνδιασμός τιμών της παραγώγου.

Re: Άσκηση: Γραμμικός συνδιασμός τιμών της παραγώγου.

Re: Άσκηση: Γραμμικός συνδιασμός τιμών της παραγώγου.

Re: Άσκηση: Γραμμικός συνδιασμός τιμών της παραγώγου.

Μέλη σε σύνδεση