σημείο καμπής

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

σημείο καμπής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Τετ Φεβ 08, 2012 11:26 pm

Καλησπέρα στην παρέα

Η επόμενη άσκηση δεν είναι δύσκολη, είναι διδακτική και πολύ πολύ πονηρή.

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{ 
f 
} με τύπο \displaystyle{ 
f(x) = \frac{{a^2 }}{2}x^4  - (a^2  + 1)x^3  + 3x^2  - 6x + 2012 
} .
Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού \displaystyle{ 
a 
} για τις οποίες ένα από τα σημεία καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \displaystyle{ 
f 
} να έχει τετμημένη \displaystyle{ 
1 
}


Καρδαμίτσης Σπύρος
Μπουμπουλής Κώστας
Δημοσιεύσεις: 56
Εγγραφή: Τρί Απρ 26, 2011 1:58 am

Re: σημείο καμπής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπουμπουλής Κώστας » Πέμ Φεβ 09, 2012 1:05 am

Πραγματικά ωραία άσκηση,Σπύρο!
Μ.Κ.


minast1994
Δημοσιεύσεις: 76
Εγγραφή: Τρί Δεκ 28, 2010 8:48 pm
Τοποθεσία: Νέα Παλάτια Ωρωπού

Re: σημείο καμπής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από minast1994 » Πέμ Φεβ 09, 2012 1:43 am

καλησπέρα :logo:
παραγωγίζοντας δύο φορές θα είναι
f''(x)=6(a^2x^2-(a^2+1)x+1)
επειδή είναι f''(1)=0 για κάθε τιμή του α ,το εν λόγω σημείο θα είναι πιθανό σημείο καμπής.
Για να είναι Και σημείο καμπής θα πρέπει η f'' να αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν
επειδή η f'' τριώνυμο δεν θα έχει ρίζες αν D<0 και αν D=0 όπου θα διατηρεί πρόσημο και κατ επέκταση δεν θα υπάρχουν σημεία καμπής
ή D>0 όπου θα έχει 2 σημεία καμπής
ενδιαφερόμαστε για την τρίτη περίπτωση
D=(a^2+1)^{2}-4a^2=(a^2-1)^{2}
είναι D=0\Leftrightarrow a=1,-1
αρα θα πρέπει a\neq 1,-1


Μηνάς Χάτζος.
Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1410
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: σημείο καμπής

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Πέμ Φεβ 09, 2012 1:52 am

Αν γράψουμε τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης ως
f''(x) = (x-1)(a^{2}x-1), τότε φαίνεται καθαρά ότι δεν πρέπει να πάρει το a τις τιμές 1 ή -1,
αφού τότε η δεύτερη παράγωγος θα μηδενίζεται στο 1, αλλά δεν θα αλλάζει πρόσημο.
Την Δευτέρα θα δοθεί ως άσκηση στον πίνακα και θα γίνει διαφήμιση για το Φόρουμ.
Μιά χαρά αναδεικνύει τις ιδιότητες και τον ορισμό του σημείου καμπής χωρίς στολίδια και σατανικά τεχνάσματα.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6200
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: σημείο καμπής

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Φεβ 09, 2012 12:05 pm

minast1994 έγραψε:καλησπέρα :logo:
παραγωγίζοντας δύο φορές θα είναι
f''(x)=6(a^2x^2-(a^2+1)x+1)
επειδή είναι f''(1)=0 για κάθε τιμή του α ,το εν λόγω σημείο θα είναι πιθανό σημείο καμπής.
Για να είναι Και σημείο καμπής θα πρέπει η f'' να αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν
επειδή η f'' τριώνυμο δεν θα έχει ρίζες αν D<0 και αν D=0 όπου θα διατηρεί πρόσημο και κατ επέκταση δεν θα υπάρχουν σημεία καμπής
ή D>0 όπου θα έχει 2 σημεία καμπής
ενδιαφερόμαστε για την τρίτη περίπτωση
D=(a^2+1)^{2}-4a^2=(a^2-1)^{2}
είναι D=0\Leftrightarrow a=1,-1
αρα θα πρέπει a\neq 1,-1
Εδώ χρειάζεται λίγο προσοχή, καθώς για \displaystyle{a=0} η \displaystyle{f''} είναι πρώτου βαθμού ως προς \displaystyle{x}.


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης