ΥΠΑΡΞΗ ΑΡΙΘΜΟΥ

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ
Δημοσιεύσεις: 466
Εγγραφή: Τρί Αύγ 04, 2009 12:16 pm

ΥΠΑΡΞΗ ΑΡΙΘΜΟΥ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ » Πέμ Αύγ 06, 2009 1:50 pm

καλό μεσημέρι σε όλους

παραθέτω μια άσκηση που "ξέθαψα" πριν φύγω για διακοπές, μπορεί και να έχει συζητηθεί.Αν ναι, ενημερώστε με.
'Εστω f δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R με |f( x )| μικρότερη ή ίση του 1 για κάθε χ στο R και ( {f(0)} )^2 + ( {f'(0)} )^2 = 4.Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ στο R ώστε f(ξ ) + f''(ξ ) = 0


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1393
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: ΥΠΑΡΞΗ ΑΡΙΘΜΟΥ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Αύγ 06, 2009 5:26 pm

Καλημερα.

Εστω σημεια x, y με x < 0, \ y > 0 και |f^{\prime}(x)| < 1, \ |f^{\prime}(y)| < 1 (υπαρχουν, αλλιως η f δε θα ηταν φραγμενη).

Θεωρουμε τη συναρτηση g(x) = f(x)^2 + f^{\prime} (x)^2, η οποια ειναι παραγωγισιμη στο [x, y]. Η g παιρνει τη μεγιστη τιμη της (για το [x,y]) στο \xi \in (x,y) (αφου g(0) > g(x), \ g(0) > g(y)). Επισης, ισχυει f^{\prime} (\xi) \neq 0 (αλλιως θα ειχαμε g( \xi) \leq 1 < 4 = g(0)).

Οποτε, εχουμε g^{\prime} (\xi) = 0 = 2 f^{\prime} (\xi) \left( f(\xi) + f^{\prime \prime} (\xi) \right) και αφου f^{\prime} (\xi) \neq 0 εχουμε το ζητουμενο.

Δημητρης Σκουτερης


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ
Δημοσιεύσεις: 466
Εγγραφή: Τρί Αύγ 04, 2009 12:16 pm

Re: ΥΠΑΡΞΗ ΑΡΙΘΜΟΥ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ » Παρ Αύγ 07, 2009 10:07 am

καλημέρα κ.Σκουτερη, ευχαριστώ αφενός που ασχοληθήκατε με το θέμα αφετέρου θα ήθελα να ρωτήσω πως προκύπτει η ύπαρξη χ<0, ψ>0 από το φραγμένο της f ώστε η παράγωγος στα σημεία αυτά να φράσσεται από το 1;


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1393
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: ΥΠΑΡΞΗ ΑΡΙΘΜΟΥ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Παρ Αύγ 07, 2009 10:34 am

Καλημερα.

Αν, π.χ., για καθε x > 0 ισχυει |f^{\prime} (x)| \geq 1, τοτε θα ισχυει ειτε f^{\prime} (x) \geq 1 για καθε x > 0 ειτε f^{\prime} (x) \leq -1 για καθε x > 0, γιατι η παραγωγος ειναι συνεχης. Οποτε, με ολοκληρωση της παραγωγου, βλεπουμε οτι σε καποιο σημειο η f θα 'ξεφυγει' απο τη ζωνη [-1,1]. Ομοιως για x < 0.

Δημητρης Σκουτερης


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
k-ser
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Re: ΥΠΑΡΞΗ ΑΡΙΘΜΟΥ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από k-ser » Παρ Αύγ 07, 2009 3:20 pm

Δημήτρη, πολύ καλή η λύση σου.
Αν δεν κάνω κάπου λάθος τα x, y μπορούν να προκύψουν από ΘΜΤ στα [-2,0] και [0,2]
\displaystyle |f^{\prime}(x)|=\frac{|f(0)-f(-2)|}{2} \leq \frac{|f(0)|+|f(-2)|}{2}\leq \frac{1+1}{2}=1
και
\displaystyle |f^{\prime}(y)|=\frac{|f(2)-f(0)|}{2} \leq \frac{|f(2)|+|f(0)|}{2}\leq \frac{1+1}{2}=1
Είναι προφανές ότι, επιλέγοντας κατάλληλα διαστήματα μπορούμε τα \displaystyle |f^{\prime}(x)| και \displaystyle |f^{\prime}(x)| να τα περιορίσουμε όσο θέλουμε.

Ακόμα, το δεδομένο g(0)=4 μπορεί να αντικατασταθεί από το "ασθενέστερο": g(0)=a με a>1


Κώστας Σερίφης
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: ΥΠΑΡΞΗ ΑΡΙΘΜΟΥ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Παρ Αύγ 07, 2009 11:38 pm

Ψάχνοντας για ασκήσεις :o :shock: :mrgreen: http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=239613 Putnam 1976,A-6


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης