ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

nikoszan
Δημοσιεύσεις: 952
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 17, 2009 2:22 pm

ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikoszan » Δευ Μαρ 26, 2012 12:15 am

Για την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση \displaystyle{f:R \to R} ισχύει \displaystyle{f''\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = 0,\forall x \in R}
και είναι \displaystyle{f\left( 0 \right) = 0} , \displaystyle{f'\left( 0 \right) = 1}.Να βρεθει ο τύπος της \displaystyle{f}


G.Tsikaloudakis
Δημοσιεύσεις: 410
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 20, 2010 8:42 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΛΙΘΕΑ -ΑΘΗΝΑ
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από G.Tsikaloudakis » Δευ Μαρ 26, 2012 9:43 am



Γιώργος Τσικαλουδάκης
Άβαταρ μέλους
Γενικοί Συντονιστές
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 490
Εγγραφή: Κυρ Σεπ 13, 2009 12:52 am

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές » Δευ Μαρ 26, 2012 9:51 am

G.Tsikaloudakis έγραψε:

Οι απαντήσεις πρέπει να είναι κατά τα δυνατόν πλήρεις να αποφεύγονται οι υποδείξεις και η παράθεση μόνο του αποτελέσματος.


Οι Γενικοί Συντονιστές του mathematica
G.Tsikaloudakis
Δημοσιεύσεις: 410
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 20, 2010 8:42 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΛΙΘΕΑ -ΑΘΗΝΑ
Επικοινωνία:

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από G.Tsikaloudakis » Δευ Μαρ 26, 2012 9:57 am

Από την ισότητα: f''(x) + {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x) = 0 , έχουμε ότι και :f''( - x) + {\mathop{\rm f}\nolimits} (x) = 0 ,
οπότε:
f''(x) + {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x) = f''( - x) + {\mathop{\rm f}\nolimits} (x) , ισόδύναμα: \left( {{\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f}\nolimits} (-x)} \right)^{\prime \prime }  = {\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x)

Είναι:

\begin{array}{l} 
 \left( {{\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x)} \right)^{\prime \prime }  = {\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x)\mathop {}\limits^{}  \Leftrightarrow \mathop {}\limits^{}  \\  
  \\  
 \left( {{\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x)} \right)^{\prime \prime }  + \left( {{\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x)} \right)^\prime   = {\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x) + \left( {{\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x)} \right)^\prime  \mathop {}\limits^{-}  \\  
 \end{array} (1)

Θέτουμε: {\mathop{\rm h}\nolimits} (x) = {\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x) και έχουμε:

\begin{array}{l} 
 h''(x) + h'(x) = h'(x) + {\mathop{\rm h}\nolimits} (x)\mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{}  \Leftrightarrow \mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits_{} \left( {e^x h'(x)} \right)^\prime   = \left( {e^x {\mathop{\rm h}\nolimits} (x)} \right)^\prime  \mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{}  \Leftrightarrow \mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits_{}  \\  
  \\  
 e^x h'(x) = e^x {\mathop{\rm h}\nolimits} (x) + 2\mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{}  \Leftrightarrow \mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{} {\mathop{\rm h}\nolimits} (x)e^{ - x}  =  - e^{ - 2x} \mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{}  \Leftrightarrow \mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{} {\mathop{\rm h}\nolimits} (x) =  - e^{ - x} \mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{} (2) \\  
  \\  
 \end{array}

Από την τελευταία ισότητα (2) εύκολα προκύπτει το ζητούμενο (κλασική άσκηση)


Γιώργος Τσικαλουδάκης
Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 915
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Παρ Ιούλ 29, 2016 11:53 am

G.Tsikaloudakis έγραψε:Από την ισότητα: f''(x) + {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x) = 0 , έχουμε ότι και :f''( - x) + {\mathop{\rm f}\nolimits} (x) = 0 ,
οπότε:
f''(x) + {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x) = f''( - x) + {\mathop{\rm f}\nolimits} (x) , ισόδύναμα: \left( {{\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f}\nolimits} (-x)} \right)^{\prime \prime }  = {\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x)

Είναι:

\begin{array}{l} 
 \left( {{\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x)} \right)^{\prime \prime }  = {\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x)\mathop {}\limits^{}  \Leftrightarrow \mathop {}\limits^{}  \\  
  \\  
 \left( {{\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x)} \right)^{\prime \prime }  + \left( {{\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x)} \right)^\prime   = {\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x) + \left( {{\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x)} \right)^\prime  \mathop {}\limits^{-}  \\  
 \end{array} (1)

Θέτουμε: {\mathop{\rm h}\nolimits} (x) = {\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x) και έχουμε:

\begin{array}{l} 
 h''(x) + h'(x) = h'(x) + {\mathop{\rm h}\nolimits} (x)\mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{}  \Leftrightarrow \mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits_{} \left( {e^x h'(x)} \right)^\prime   = \left( {e^x {\mathop{\rm h}\nolimits} (x)} \right)^\prime  \mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{}  \Leftrightarrow \mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits_{}  \\  
  \\  
 e^x h'(x) = e^x {\mathop{\rm h}\nolimits} (x) + 2\mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{}  \Leftrightarrow \mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{} {\mathop{\rm h}\nolimits} (x)e^{ - x}  =  - e^{ - 2x} \mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{}  \Leftrightarrow \mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{} {\mathop{\rm h}\nolimits} (x) =  - e^{ - x} \mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{} (2) \\  
  \\  
 \end{array}

Από την τελευταία ισότητα (2) εύκολα προκύπτει το ζητούμενο (κλασική άσκηση)
Προκύπτει νομίζω h(x)=e^{x}-e^{-x} \Leftrightarrow f(x)-f(-x)=e^{x}-e^{-x}
Θα μπορούσε κάποιος να μου υποδείξει τον "κλασικό" τρόπο επίλυσης;
Ευχαριστώ.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Παρ Ιούλ 29, 2016 2:44 pm

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:
G.Tsikaloudakis έγραψε:Από την ισότητα: f''(x) + {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x) = 0 , έχουμε ότι και :f''( - x) + {\mathop{\rm f}\nolimits} (x) = 0 ,
οπότε:
f''(x) + {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x) = f''( - x) + {\mathop{\rm f}\nolimits} (x) , ισόδύναμα: \left( {{\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f}\nolimits} (-x)} \right)^{\prime \prime }  = {\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x)

Είναι:

\begin{array}{l} 
 \left( {{\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x)} \right)^{\prime \prime }  = {\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x)\mathop {}\limits^{}  \Leftrightarrow \mathop {}\limits^{}  \\  
  \\  
 \left( {{\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x)} \right)^{\prime \prime }  + \left( {{\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x)} \right)^\prime   = {\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x) + \left( {{\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x)} \right)^\prime  \mathop {}\limits^{-}  \\  
 \end{array} (1)

Θέτουμε: {\mathop{\rm h}\nolimits} (x) = {\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x) και έχουμε:

\begin{array}{l} 
 h''(x) + h'(x) = h'(x) + {\mathop{\rm h}\nolimits} (x)\mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{}  \Leftrightarrow \mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits_{} \left( {e^x h'(x)} \right)^\prime   = \left( {e^x {\mathop{\rm h}\nolimits} (x)} \right)^\prime  \mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{}  \Leftrightarrow \mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits_{}  \\  
  \\  
 e^x h'(x) = e^x {\mathop{\rm h}\nolimits} (x) + 2\mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{}  \Leftrightarrow \mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{} {\mathop{\rm h}\nolimits} (x)e^{ - x}  =  - e^{ - 2x} \mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{}  \Leftrightarrow \mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{} {\mathop{\rm h}\nolimits} (x) =  - e^{ - x} \mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{} (2) \\  
  \\  
 \end{array}

Από την τελευταία ισότητα (2) εύκολα προκύπτει το ζητούμενο (κλασική άσκηση)
Προκύπτει νομίζω h(x)=e^{x}-e^{-x} \Leftrightarrow f(x)-f(-x)=e^{x}-e^{-x}
Θα μπορούσε κάποιος να μου υποδείξει τον "κλασικό" τρόπο επίλυσης;
Ευχαριστώ.
Λίγο διαφορετικά

\displaystyle{{f{''}}(x) + f( - x) = 0\,\,\,\,\forall x \in R\,\,\,\,(1)\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,f(0) = 0\,\,\,,\,\,\,{f{'}}(0) = 1}

Από την \displaystyle{(1)\,\,} προκύπτει \displaystyle{{f{''}}( - x) + f(x) = 0\,\,\,\,\forall x \in R\,\,\,\,(2)\,}

\displaystyle{(1) \wedge (2) \Rightarrow {f{''}}(x) + {f{''}}( - x) + f(x) + f( - x) = 0 \Rightarrow {g{''}}(x) + g(x) = 0\,\,\,\,\forall x \in R\,\,\,\,(3)\,\,}

με \displaystyle{\,g(x) = f(x) + f( - x)\,\,} οπότε \displaystyle{g(0) = {g{'}}(0) = 0}

Λόγω της (3) η συνάρτηση \displaystyle{h(x) = {g^2}(x) + {\left( {{g{'}}(x)} \right)^2}\,} είναι σταθερή (\displaystyle{{h{'}}(x) = 0\,\,\,\forall x \in R\,}) και έτσι προκύπτει

\displaystyle{\,h(x) = 0 \Rightarrow g(x) = 0 \Rightarrow f( - x) =  - f(x)\,\,\,\forall x \in R\,\,\,\,\,\,(4)}

\displaystyle{(1) \wedge (4) \Rightarrow {f{''}}(x) = f(x)\,\,\,\forall x \in R\, \Rightarrow ....}


Γιώργος Ροδόπουλος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες