Μονοτονία-Καμπή-Εξίσωση

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #1

Έστω f δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{ \Re }$ , τέτοια ώστε $\displaystyle{ f'(0) > 0 }$ και
$\displaystyle{ \left( {f'(x)} \right)^2 + 2 \cdot f'(x) = e^x - x + 2 }$ για κάθε $\displaystyle{ x \in \Re }$ . Να δείξετε ότι
α) η f είναι γνησίως αύξουσα
β) η f παρουσιάζει μοναδικό σημείο καμπής
γ) η εξίσωση $\displaystyle{ f'(x) = e^x }$ έχει μοναδική λύση .

mathxl · #2

Υπόδειξη για να μην καταστρέψω αυτήν την άσκηση (δεν μου αρέσουν οι περιγραφικές λύσεις

)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Christos.N · #3

Επαναφορά

#4

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 21, 2009 6:01 pm
Έστω f δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{ \Re }$ , τέτοια ώστε $\displaystyle{ f'(0) > 0 }$ και
$\displaystyle{ \left( {f'(x)} \right)^2 + 2 \cdot f'(x) = e^x - x + 2 }$ για κάθε $\displaystyle{ x \in \Re }$ . Να δείξετε ότι
α) η f είναι γνησίως αύξουσα
β) η f παρουσιάζει μοναδικό σημείο καμπής
γ) η εξίσωση $\displaystyle{ f'(x) = e^x }$ έχει μοναδική λύση .

...αν και έχει απαγορευμένα....μια αντιμετώπιση..
α) Αν υπάρχει ${{x}_{0}}\in \Re$ που ${f}'({{x}_{0}})=0$ τότε στην δοθείσα ισότητα έχουμε

${{\left( {f}'({{x}_{0}}) \right)}^{2}}+2\cdot {f}'({{x}_{0}})={{e}^{{{x}_{0}}}}-{{x}_{0}}+2\Leftrightarrow 0={{e}^{{{x}_{0}}}}-{{x}_{0}}+2$ άτοπο,

αφού ως γνωστόν ${{e}^{x}}\ge x+1\Leftrightarrow {{e}^{x}}-x+2\ge 3$ επομένως ${f}'(x)\ne 0,\,\,x\in R$

και αφού είναι συνεχής, θα έχει σταθερό πρόσημο η {f}'

και από $\displaystyle{f'(0) > 0}$ έπεται ότι

${f}'(x)>0,\,\,\,x\in R$ άρα η

είναι γνησίως αύξουσα.

β) Παραγωγίζοντας την δοθείσα έχουμε $\displaystyle{\left( {f'(x)} \right)^2 + 2 \cdot f'(x) = e^x - x + 2}$ έχουμε ότι

$2{f}'(x){f}''(x)+2\cdot {f}''(x)={{e}^{x}}-1\Leftrightarrow {f}''(x)=\frac{{{e}^{x}}-1}{2({f}'(x)+1)}$ και είναι από την ισότητα

${f}''(x)=0\Leftrightarrow {{e}^{x}}-1=0\Leftrightarrow x=0$ και ${f}''(x)>0\Leftrightarrow {{e}^{x}}-1>0\Leftrightarrow x>0$ και

${f}''(x)<0\Leftrightarrow {{e}^{x}}-1<0\Leftrightarrow x<0$ επομένως η

έχει μοναδικό σημείο καμπής το $(0,\,f(0))$

γ) Προφανής ρίζα είναι το x=0

αφού από την δοθείσα

${{\left( {f}'(0) \right)}^{2}}+2\cdot {f}'(0)=3\Leftrightarrow {{\left( {f}'(0) \right)}^{2}}+2\cdot {f}'(0)-3=0$ και {f}'(0)=1

λόγω του ${f}'(x)>0,\,\,\,x\in R$

Αν υποθέσουμε ότι η εξίσωση $\displaystyle{f'(x) = e^x }$ έχει δύο ρίζες $\displaystyle{f'(x) = e^x }$

έστω τις ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ τότε για την συνάρτηση $g(x)={f}'(x)-{{e}^{x}}$ εφαρμόζεται ο ROLLE στο $[{{x}_{1}},\,{{x}_{2}}]$ άρα υπάρχει

${{x}_{0}}\in ({{x}_{1}},\,{{x}_{2}})$ ώστε ${g}'({{x}_{0}})=0\Leftrightarrow {f}''(x)={{e}^{{{x}_{0}}}}$ και από

$2{f}'(x){f}''(x)+2\cdot {f}''(x)={{e}^{x}}-1$ έχουμε

$2{f}'({{x}_{0}}){f}''({{x}_{0}})+2\cdot {f}''({{x}_{0}})={{e}^{{{x}_{0}}}}-1\Leftrightarrow 2{f}'({{x}_{0}}){{e}^{{{x}_{0}}}}+2\cdot {{e}^{{{x}_{0}}}}={{e}^{{{x}_{0}}}}-1\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 2{f}'({{x}_{0}}){{e}^{{{x}_{0}}}}=-{{e}^{{{x}_{0}}}}-1\Leftrightarrow {f}'({{x}_{0}})=-\frac{{{e}^{{{x}_{0}}}}+1}{2{{e}^{{{x}_{0}}}}}<0$

που είναι άτοπο… άρα έχει μοναδική ρίζα το

Παρατήρηση: στα δεδομένα μπορεί να παραληφθεί το δεδομένο {f'(0) > 0}

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Τσιαλας Νικολαος · #5

Καλησπέρα σε όλους!! Μου διαφεύγει κάτι η' μπορούμε να βρούμε τον τύπο της f ' ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

[

Η εξίσωση
$\displaystyle{f'(x) = e^x }$
λόγω των δεδομένων είναι ισοδύναμη με την

$\displaystyle e^{2x}+2e^{x}=e^{x}-x+2$
η
$\displaystyle e^{2x}+e^{x}+x-2=0$

Η τελευταία έχει μοναδική ρίζα το

αφού την ικανοποιεί και η συνάρτηση είναι
γνησίως αύξουσα.

Προφανώς και μπορούμε να βρούμε τον τύπο της

αν γνωρίζουμε το πρόσημο της
σε κάποιο σημείο.

Μονοτονία-Καμπή-Εξίσωση

Μονοτονία-Καμπή-Εξίσωση

Re: Μονοτονία-Καμπή-Εξίσωση

Re: Μονοτονία-Καμπή-Εξίσωση

Re: Μονοτονία-Καμπή-Εξίσωση

Re: Μονοτονία-Καμπή-Εξίσωση

Re: Μονοτονία-Καμπή-Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση