Πολαπλότητα ριζών πολυωνύμου

fotios · #1

Να δείχτεί ότι κάθε πολυώνυμο $p:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ με τύπο
$\displaystyle{ p(x)=1+\sum_{i=1}^{n}\frac{x^i}{i!},\quad n\in\mathbb{N}^*=\{1,2,\ldots\},\quad\forall x\in\mathbb{R} }$
έχει μόνο απλές ρίζες.

#2

fotios έγραψε:Να δείχτεί ότι κάθε πολυώνυμο $p:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ με τύπο
$\displaystyle{ p(x)=1+\sum_{i=1}^{n}\frac{x^i}{i!},\quad n\in\mathbb{N}^*=\{1,2,\ldots\},\quad\forall x\in\mathbb{R} }$
έχει μόνο απλές ρίζες.

Αν και σίγουρα το έχουμε συναντήσει, μια απόδειξη είναι η εξής:

Έστω ότι το πολυώνυμο έχει (τουλάχιστον) διπλή ρίζα την $\displaystyle{r.}$

Τότε, $\displaystyle{P(r)=P'(r)=0}$ .

Επειδή

$\displaystyle{P'(x)=1+\sum_{i=1}^{n-1}\frac{x^i}{i!}}$

προκύπτει $\displaystyle{\frac{r^n}{n!}=0,}$ δηλαδή $\displaystyle{r=0,}$ άτοπο, αφού το $\displaystyle{0}$ φανερά δεν είναι ρίζα του αρχικού πολυωνύμου.

parmenides51 · #3

παρόμοια

Πολαπλότητα ριζών πολυωνύμου

Πολαπλότητα ριζών πολυωνύμου

Re: Πολαπλότητα μηδενικών πολυωνύμου

Re: Πολαπλότητα μηδενικών πολυωνύμου

Μέλη σε σύνδεση