Σελίδα 1 από 1

ρίζα f'''(x)

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 14, 2012 8:40 am
από dennys
Aν η συνάρτηση f(x) είναι μη αρνητική και έχει πεπερασμένη τρίτη παράγωγο στο (0,1)

και έχει η f(x) τουλάχιστον δύο ρίζες πραγματικές x_1,x_2 \in (0,1),  x_1\ne x_2

να δείξετε ότι υπάρχει σημείο \xi\in (0,1): f{'}{'}{'}(\xi)=0

denny

Re: ρίζα f'''(x)

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 14, 2012 8:56 am
από Γ.-Σ. Σμυρλής
Δέν ἰσχύει αύτό. Ἡ f(x)=(2x-1)^2(3x-1), ἔχει ρίζες στό (0,1) τίς x=1/3 καί x=1/2, μέ 1/3+1/2\in(0,1), καί σταθερή τρίτη παράγωγο f'''(x)=72.

Re: ρίζα f'''(x)

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 14, 2012 9:06 am
από achilleas
Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:Δέν ἰσχύει αύτό. Ἡ f(x)=(2x-1)^2(3x-1), ἔχει ρίζες στό (0,1) τίς x=1/3 καί x=1/2, μέ 1/3+1/2\in(0,1), καί σταθερή τρίτη παράγωγο f'''(x)=72.
Η f που δίνεται δεν είναι μη αρνητική, όμως.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Re: ρίζα f'''(x)

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 14, 2012 10:24 am
από achilleas
Μετά το μήνυμα του κ.Σμυρλή και το δικό μου, η διατύπωση του προβλήματος επεξεργάστηκε 3 φορές, κι ´ετσι κι οι δυο απαντήσεις φαίνονται ξεκρέμαστες.

Η υπόθεση ότι η f έιναι μη αρνητική ήταν στην αρχική διατύπωση, αλλά έκανα το λάθος να μην την παραθέσω, και τώρα η απάντησή μου δεν έχει νόημα.

Καλό θα ήταν η σωστή διατύπωση να έμπαινε σε νέο μήνυμα.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Re: ρίζα f'''(x)

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 14, 2012 10:37 am
από parmenides51
εαν αλλάζουμε τις εκφωνήσεις για κανόνες δεοντολογίας επιβάλλεται να το γνωστοποιούμε και στους υπόλοιπους

καταβάλλεται προσπάθεια για να ''σώνεται'' μια άσκηση και όχι να ''κρεμάμε'' συμμετέχοντες και αναγνώστες,
δεν είναι ο,τι καλύτερο να κάνουμε παραθέσεις επειδή δεν εμπιστευόμαστε τον θεματοδότη για το ενδεχόμενο να αλλάξει εκφώνηση, εδω μέσα (θέλω να) πιστεύω οτι βασιζόμαστε στην αμοιβαία εμπιστοσύνη


άλλωστε αντιγράφοντας από εδώ τα λεγόμενα των Γενικών Συντονιστών
Όταν αλλάζουμε τις ερωτήσεις μετά που έχουν απαντηθεί, χωρίς ίχνος της αρχικής ερώτησης, κάνουμε ένα σφάλμα τακτικής. Πρώτον, μένουν ξεκρέμαστες οι απαντήσεις. Δεύτερον, ο αναγνώστης που δεν παρακολούθησε όλα τα στάδια της συζήτησης δεν κατανοεί τι τρέχει.
φιλικά


edit

Re: ρίζα f'''(x)

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 14, 2012 11:03 am
από nikoszan
Εστω 0 < {x_1} < {x_2} < 1 .Επειδή ισχύει f\left( x \right) \ge 0 = f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right),\forall x\left( {0,1} \right) επεται ότι η f παρουσιάζει στα σημεία {x_1},{x_2} \in \left( {0,1} \right) τ. ελάχιστο,οπότε συμφωνα με το θ.FERMAT ισχύει f'\left( {{x_1}} \right) = f'\left( {{x_2}} \right) = 0 .Επειδη η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα \left[ {{x_1},{x_2}} \right] ,παρουσιάζει στο \left[ {{x_1},{x_2}} \right] μεγιστο και ελάχιστο 'Εστω {x_3} \in \left[ {{x_1},{x_2}} \right] η θέση του μεγίστου της f στο \left[ {{x_1},{x_2}} \right], Επειδη ισχύει f\left( x \right) \ge 0 = f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right),\forall x\left[ {{x_1},{x_2}} \right],είναι f\left( {{x_3}} \right) \ge 0 .Αν είναι f\left( {{x_3}} \right) = 0,τότε θα ισχύει f\left( x \right) = 0,\forall x\left[ {{x_1},{x_2}} \right],οπότε θα ισχύει f'''\left( x \right) = 0,\forall x\left[ {{x_1},{x_2}} \right],δηλ. υπάρχει \xi  \in \left( {0,1} \right),ώστε f'''\left( \xi  \right) = 0.Αν f\left( {{x_3}} \right) > 0 ,τοτε {x_3} \in \left( {{x_1},{x_2}} \right) και σύμφωνα με το θ.FERMAT ισχύει f'\left( {{x_3}} \right) = 0.
Ετσι έχουμε f'\left( {{x_1}} \right) = f'\left( {{x_2}} \right) = f'\left( {{x_3}} \right) = 0.Με εφαρμογη του Θ.ROLLE για την {f'} στα διαστήματα \left[ {{x_1},{x_2}} \right],\left[ {{x_2},{x_3}} \right] συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν {\xi _1} \in \left( {{x_1},{x_2}} \right),{\xi _2} \in \left( {{x_2},{x_3}} \right),ώστε f''\left( {{\xi _1}} \right) = f''\left( {{\xi _2}} \right) = 0.Με εφαρμογη του Θ.ROLLE για την {f''} στο \left[ {{\xi _1},{\xi _2}} \right] καταλήγουμε ότι υπάρχει \xi  \in \left( {{\xi _1},{\xi _2}} \right) ,ώστε f'''\left( \xi  \right) = 0.Απο τα παραπάνω προκύπτει οτι υπάρχει \xi  \in \left( {0,1} \right) ,ώστε f'''\left( \xi  \right) = 0.
Ν.Ζ.

Re: ρίζα f'''(x)

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 14, 2012 11:19 am
από dennys
Nίκο καλημέρα

Ευχαριστώ πολύ που ασχολήθηκες ,με την άσκηση απο κάποιο φυλλαδιο του Ρούλη.

Διονύσης

Δέν απαντώ στα άλλα σχόλια , όντας σίγουρος ότι κανείς δεν μπορεί να παίζει με το μυαλό μου. Ηταν λάθος

γραφής και αντί για διάφορο ,έγραψα συν .x_1\ne x_2 έγραψα x_1+x_2, αλλά ούτε για ταλαιπωρία ,ούτε

για τα "κρεμάσματα " του parmen. Οποιος δεν θέλει ας μην ασχοληθεί με τα θέματα μου.Οι επεξεργασίες έγιναν για τόνους και ήταν 3.

Re: ρίζα f'''(x)

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 21, 2012 10:48 pm
από Γενικοί Συντονιστές
Παρακαλούμε κάθε φορά που επεξεργάζεστε την εκφώνηση της άσκησης ,να δηλώνετε την αλλαγή ώστε να μην ταλαιπωρούνται αυτοί που λύνουν και όσοι διαβάζουν.