Διαφορικός Λογισμός 27

Γιώργος Κ77 · #1

1. Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f(x)=\ln (x^{2}+1)-e^{-x}+1$ ως προς τη μονοτονία.

2. Να βρείτε το σύνολο τιμών της.

BAGGP93 · #2

Καλησπέρα στην μαθηματική παρέα.

1)

Η $\displaystyle{f}$ έχει πεδίο ορισμού το σύνολο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ των πραγματικών αριθμών, είναι συνεχής στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$

ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων, παραγωγίσιμη σε αυτό ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων και έχει παράγωγο

$\displaystyle{f^\prime(x)=\frac{2x}{x^2+1}+e^{-x}>0\ \forall x\geq 0}$

Επομένως, η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $\displaystyle{\left[0,+\infty\right)}$

Για $\displaystyle{x<0}$ είναι,

$\displaystyle{-x>0\Rightarrow e^{-x}>1}$ και άρα

$\displaystyle{f^\prime(x)=\frac{2x}{x^2+1}+e^{-x}>\frac{2x}{x^2+1}+1=\frac{(x+1)^2}{x^2+1}\geq 0\ \forall x<0}$

που σημαίνει ότι η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $\displaystyle{\left(-\infty,0\right)}$ .

Λόγω της συνέχειας στο σημείο $\displaystyle{x=0}$ έπεται ότι η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$

2)

Σύμφωνα με τα παραπάνω είναι, $\displaystyle{f\left(\mathbb{R}\right)=\left(\lim_{x\to -\infty}f(x),\lim_{x\to +\infty}f(x)\right)}$

$\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\left[ln(x^2+1)-e^{-x}+1\right]=+\infty}$ διότι

$\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}ln(x^2+1)=+\infty}$ και $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}(-e^{-x}+1)=0+1=1}$

Μένει να προσδιορίσουμε το $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}f(x)}$

$\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}\left(ln(x^2+1)-\frac{1}{e^x}+1\right)=\lim_{x\to -\infty}\frac{e^xln(x^2+1)-1}{e^x}+1}$

Όμως,

$\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}e^xln(x^2+1)=\lim_{x\to -\infty}\frac{ln(x^2+1)}{e^{-x}}\stackrel{D.L.H}{=}\lim_{x\to -\infty}\frac{2x}{-e^{-x}(x^2+1)}=$

$\displaystyle{\stackrel{D.L.H}{=}\lim_{x\to -\infty}\frac{2}{e^{-x}(x^2+1)-2xe^{-x}}=0}$

και επειδή $\displaystyle{e^x\stackrel{x\to -\infty}{\to}0^{+}}$ έχουμε ότι

$\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty}$

Επομένως,

$\displaystyle{f\left(\mathbb{R}\right)=\mathbb{R}}$

ΥΓ:'Εχω μια μικρή αμφιβολία για το $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}f(x)}$ ως πρός την δικαιολόγηση.

KARKAR · #3

Η συνάρτηση είναι "πολυπαιγμένη " , βλέπε εδώ

parmenides51 · #4

εδώ πιο πολλές παραπομπές

KARKAR · #5

Είπαμε πολυπαιγμένη , αλλά εδώ πρόκειται για την "ΠΡΙΓΚΗΠΕΣΣΑ"

Γιώργος Κ77 · #6

Διαφορικός Λογισμός 27

Διαφορικός Λογισμός 27

Re: Διαφορικός Λογισμός 27

Re: Διαφορικός Λογισμός 27

Re: Διαφορικός Λογισμός 27

Re: Διαφορικός Λογισμός 27

Re: Διαφορικός Λογισμός 27

Μέλη σε σύνδεση